ANALYSIS Beweisen Sie, dass es ein x mit f(x) = g(x) gibt.

Question

Aufgabe:Sei [a,b] Teilmenge von R ein beschränktes, abgeschlossenes Intervall und f, g: [a,b] streben gegen R, seien zwei stetige FKT mit f(a) > g(a), f(b) < g(b). Beweisen Sie, dass es ein x mit f(x) = g(x) gibt.

Problem/Ansatz:

ich möchte gerne o.g. Aufgabe lösen. Wie genau muss ich hier vorgehen? Muss ich zeigen, dass eine Funktion sich im Koordinatensystem nach rechts annähert und die andere Funktion sich von rechts nach links annähert, sodass es irgendwann ein x gibt, wobei dann f(x) = g(x) gilt? Oder wie muss ich hier vorgehen?

MFG

Answer 1

f(a) > g(a) → f(a) - g(a) > 0

f(b) < g(b) --> f(b) - g(b) < 0

Der Nullstellensatz von Bolzano garantiert jetzt im Intervall [a; b] mindestens eine Nullstelle.

Comments

Muss ich jetzt also noch etwas machen bzw. den Nullstellensatz anwenden, oder ist das, so wie Sie geschrieben haben, schon die richtige Antwort auf die Aufgabe?

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Du solltest sehen das man d(x) = f(x) - g(x) definieren kann. Und auf d(x) kannst du dann den Nullstellensatz anwenden. Man kann dann aber den Nullstellensatz auch gleich direkt auf die Differenz anwenden. Das sollte eigentlich so langen.