Bestimmten Integrale. Bsp. ∫(2sinx+2)dx , von pi/2 bis 3pi/2

Question

Kann mir bitte jemand helfen bei der Bestimmung folgender Integrale?

∫(4x^3-x+1)dx                   von -√2 bis √2

∫(2x+ 1)/(x^2-4x+4)dx        von 0 bis 1

∫(4/√x - 3)/(x^2)dx               von 3 bis 4

∫(2sinx+2)dx                    von pi/2 bis 3pi/2

∫(sin2x)dx                         von 1 bis 1

Comments

Vielleicht kommst du ja mit den automatischen Antworten klar:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=∫%284x%5E3-x%2B1%29dx+++++++++++++++++++from+-√2+to+√2+

Ansonsten musst du noch Geduld haben.

Answer 1

∫(2x + 1) / (x ² - 4 x + 4) dx = ?

(2x+1)/(x²-4x+4) = (2x+1)/(x-2)² doppelte nullstelle bei x = 2
partialbruchzerlegung, gesucht: A, B
(2x+1)/(x-2)² = A/(x-2) + B/(x-2)²
(2x+1)/(x-2)² = A(x-2)/(x-2)² + B/(x-2)² | *(x-2)²
(2x+1) = A(x-2) + B
x = 2
2*2 + 1 = B, B = 5
x = 0
2*0 + 1 = -2A + B = -2A + 5
1 = -2A + 5
A = -4/-2 = 2
(2x+1)/(x²-4x+4) = (2x+1)/(x-2)² = 2/(x-2) + 5/(x-2)²

∫(2x+1)/(x²-4x+4) dx = ∫(2x+1)/(x-2)² dx = ∫2/(x-2) + 5/(x-2)² dx
u = x-2
du/dx = 1
dx = du
∫2/(x-2) + 5/(x-2)² dx = ∫2/u + 5/u² du = 2 ln u - 5/(x-2) + C
= 2 ln(x-2) - 5/(x-2) + C

(von 0 bis 1) ∫2/(x-2) + 5/(x-2)² dx =
[2 ln(x-2) - 5/(x-2)] (von 0 bis 1) =
2 ln(1-2) - 5/(1-2) - (2 ln(0-2) - 5/(0-2)) =
2 ln(-1) - 5/(-1) - (2 ln(-2) + 5/(-2)) =
2 ln(-1) - 2 ln(-2) + 5 - 5/2 =
2 ln(-1/-2) + 5/2 =
2.5 + 2 ln(0.5) ≈  2.5 - 1,38633 = 1.11367
 

Comments

Wenn ich mir die anderen doch eher einfachen Aufgaben anschaue, so glaube ich nicht, dass man bei dieser Aufgabe mit der Partialbruchzerlegung arbeiten muss. Daher fürchte ich, dass du den Integranden nicht so interpretiert hast, wie es der Fragesteller gemeint hat.

Dennoch: Pluspunkt für die viele Mühe.

Answer 2

$$\int _{ -\sqrt { 2 }  }^{ \sqrt { 2 }  }{ 4{ x }^{ 3 }-x+1dx }$$$$={ \left[ { x }^{ 4 }-{ \frac { 1 }{ 2 }  }{ x }^{ 2 }+x \right]  }_{ -\sqrt { 2 }  }^{ \sqrt { 2 }  }$$$$=\left[ { \sqrt { 2 }  }^{ 4 }-{ \frac { 1 }{ 2 }  }{ \sqrt { 2 }  }^{ 2 }+\sqrt { 2 }  \right] -\left[ { (-\sqrt { 2 } ) }^{ 4 }-{ \frac { 1 }{ 2 }  }{ (-\sqrt { 2 } ) }^{ 2 }+(-\sqrt { 2 } ) \right]$$$$=\left[ { 4 }-{ 1 }+\sqrt { 2 }  \right] -\left[ { 4 }-1-\sqrt { 2 }  \right]$$$$=3+\sqrt { 2 } -3+\sqrt { 2 }$$$$=2\sqrt { 2 }$$$$=\sqrt { 8 }$$

Das bestimmte Integral \(\int _{ 0 }^{ 1 }{ 2x+\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } } -4x+4dx\) existiert wegen des Terms 1/x² nicht.

$$\int _{ 3 }^{ 4 }{ \frac { 4 }{ \sqrt { x }  } -\frac { 3 }{ { x }^{ 2 } } dx }$$$$={ \left[ { 8\sqrt { x } +\frac { 3 }{ x }  } \right]  }_{ 3 }^{ 4 }$$$$=\left[ { 16+ }{ \frac { 3 }{ 4 }  } \right] -\left[ 8\sqrt { 3 } +1 \right]$$$$=15,75-8\sqrt { 3 }$$

$$\int _{ \frac { \pi  }{ 2 }  }^{ \frac { 3\pi  }{ 2 }  }{ 2sinx+2dx }$$$$={ 2\int _{ \frac { \pi  }{ 2 }  }^{ \frac { 3\pi  }{ 2 }  }{ sinx+1dx }  }$$$$=2{ \left[ x-cosx \right]  }_{ \frac { \pi  }{ 2 }  }^{ \frac { 3\pi  }{ 2 }  }$$$$=2\left( \left[ \frac { 3\pi  }{ 2 } -cos\frac { 3\pi  }{ 2 }  \right] -\left[ \frac { \pi  }{ 2 } -cos\frac { \pi  }{ 2 }  \right]  \right)$$$$=2\left( \left[ \frac { 3\pi  }{ 2 } -0 \right] -\left[ \frac { \pi  }{ 2 } -0 \right]  \right)$$$$=2\frac { 2\pi  }{ 2 }$$$$=2\pi$$

$$\int _{ 1 }^{ 1 }{ sin(2x)dx=0 }$$

Comments

Das eine Integral was nicht geht habe ich wohl falsch aufgeschrieben: ∫(2x+ 1/x2-4x+4)dx von 0 bis 1 es war da gemeint 1/x^2-4x-4 es steht nur die 1 oben und der Rest steht unter dem Bruchstrich

---

Nun, das kann man einfach durch Klammerung darstellen:

2 x + 1 / ( x ² - 4 x + 4 ) 

Ich hab jetzt leider keine Zeit mehr, dieses Integral zu lösen. Ich kümmere mich später darum wenn es nicht zwischenzeitlich jemand anderes macht.

---

So, hier nun noch das fehlende Integral. Ich hoffe, dass der Integrand diesmal der Aufgabenstellung entspricht:

$$\int _{ 0 }^{ 1 }{ 2{ x }+\frac { 1 }{ { x }^{ 2 }-4x+4 } dx }$$$$=\int _{ 0 }^{ 1 }{ 2{ x }+\frac { 1 }{ ({ x-2) }^{ 2 } } dx }$$$$={ \left[ { x }^{ 2 }-{ \frac { 1 }{ x-2 }  } \right]  }_{ 0 }^{ 1 }$$$$={ \left[ 1^{ 2 }+1 \right]  }-{ \left[ { 0 }+{ \frac { 1 }{ 2 }  } \right]  }$$$$=1,5$$