Parallele zur y-Achse, sodass zwei gleich große Flächeninhalte entstehen

Question

Aufgabe:

Gegeben ist eine Funktion f mit f(x)= -x^3 + 3x^2.

Zerlegen Sie die Fläche, die der Graph von f mit der x-Achse einschließt, so durch eine Parallele zur y-Achse, dass zwei Flächen mit demselben Flächeninhalt entstehen.

Problem/Ansatz:

Ich kann mir den Graphen in meinem Taschenrechner zeichnen lassen und kann das so dann grob bestimmen. Ich habe gerade aber keine Idee, wie ich das so schriftlich ausrechnen könnte.

Comments

Ich habe gerade aber keine Idee, wie ich das so schriftlich ausrechnen könnte.
Bis -a^4 / 4 + a^2 = 27/8
Algebraisch ist dies nicht zu lösen.

Dann das Newton´sche Näherungsverfahren.

Answer 1

\(A = \displaystyle\int\limits_0^3 f(x)\, dx = \dfrac{27}{4}\)

Gesucht \(a\): \(\dfrac{A}{2} = \displaystyle\int\limits_0^a f(x)\, dx = \dfrac{27}{8} \Rightarrow F(a) -F(0) =  \dfrac{27}{8} \Rightarrow -\dfrac{a^4}{4} + a^3 = \dfrac{27}{8} \Rightarrow a\approx 1.8428\)

Die Vertikale \(x=1.8428\) halbiert die Fläche in etwa.