Extremwertaufgabe Summe der Quadrate

Question

Aufgabe:

Wähle mehrmals zwei positive zahlen mit der Summe 140. Bilde sowohl ihr Produkt als auch die Summe der Quadrate dieser Zahlen.
a.) Für welche zwei Zahlen wird das Produkt maximal?
b.) Für welche zwei Zahlen wird die Summe ihrer Quadrate minimal?
Problem/Ansatz:

Ich verstehe es gar nicht

Comments

Jeweils extremal, wenn beide Zahlen die gleichen sind.

Answer 1

Produkt

\(p(x)=x\cdot(140-x)=140x-x^2\)

1. Ableitung Null setzen → Extremum

2. Ableitung kleiner Null → Maximum

oder Scheitelpunkt bestimmen

Summe der Quadrate

\(s(x)=x^2+(140-x)^2=x^2+19600-280x+x^2\)

\(s(x)=19600-280x+2x^2\)

1. Ableitung Null setzen → Extremum

2. Ableitung größer Null → Minimum

Comments

Nur ein Tippfehler: Summe der Quadrate

---

Vielen Dank!

---

@coach: Produkt wäre aber auch schön! :-)

@nivetha: Bitte   :-)

Answer 2

a)
x + y = 140 → y = 140 - x
P = x·y = x·(140 - x) = 140·x - x^2
P' = 140 - 2·x = 0 → x = 70
y = 140 - 70 = 70

b)
x + y = 140 → y = 140 - x
S = x^2 + y^2 = x^2 + (140 - x)^2 = x^2 + 140^2 - 280·x + x^2 = 2·x^2 - 280·x + 140^2
S' = 4·x - 280 = 0 → x = 70
y = 140 - 70 = 70

Comments

Vielen Dank!

Answer 3

Hallo,

ich betrachte das als eine Extremwertaufgabe, bei der mit Hilfe der 1. Ableitung das Maximum/Minimum bestimmt wird

a) Sei die eine Zahl x und die andere y, dann gilt

x + y = 140

⇒ x = 140 - y

Das Produkt soll maximal werden:

P = x * y

   = (140-y) * y

   = 140y - y2

Hiervon bestimmst du die 1. Ableitung, setzt sie = 0,  löst nach y auf und prüfst anhand der 2. Ableitung, ob es sich um ein Maximum handelt.

Ebenso verfährst du mit Teilaufgabe b).

Melde dich, falls du dazu mehr Hilfe brauchst.

Gruß, Silvia

Comments

Vielen Dank!