Erzeugendensystem, Basis, unbekannte Variable Aufgabe Lineare Algebra

Question

(a) Gegeben ist das Erzeugendensystem E= { \( \begin{pmatrix} 2\\c\\ \end{pmatrix} \)\( \begin{pmatrix} c\\2\\ \end{pmatrix} \)} , wobei c ∈R ist. 

(i) Für welche Werte von c ∈R ist E keine Basis des R2?

- Hier habe ich erst geschaut, ob die Vektoren bzw. die daraus entstandene Matrix linear un- oder abhängig ist.

\( \begin{pmatrix} 2 & c \\ c & 2 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 2 & c \\ 0 & (-c^2+4)/2 \end{pmatrix} \)

Daraus folgt, dass die Matrix linear unabhängig ist. Sollte die Matrix nicht eigentlich linear abhängig sein, damit die Vektoren keine Basis des R2 sind? Oder denke ich da falsch, habe ich was vergessen?

(ii) Welche Untervektorräume ergeben sich für diejenigen c ∈ R, für die E keine Basis des R2 ist?

Answer 1

Aloha :)

Die Vektoren, die eine Basis bilden, müssen linear unabhängig sein, d.h. ihre Determinante muss \(\ne0\) sein:

$$0\stackrel{!}{=}\left|\begin{array}{c}2 & c\\c & 2\end{array}\right|=4-c^2\quad\Leftrightarrow\quad c^2\ne4\quad\Leftrightarrow\quad c\ne\pm2$$

Im Fall \(c=2\) sind die beiden Vektoren gleich \(\binom{2}{2}\), Der Untervektorraum ist dann eine Gerade im 2-dimensionalen Koordinatensystem durch den Ursprung mit der Steigung \(1\).

Im Fall \(c=-2\) sind die beiden Vektoren gleich \(\binom{2}{-2}\) und \(\binom{-2}{2}\), Der Untervektorraum ist dann eine Gerade im 2-dimensionalen Koordinatensystem durch den Urpsrung mit der Steigung \(-1\).

Comments

Vielen lieben Dank :)