Ableitungen einer Exponentialfunktion

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die erste Ableitung

1. 2x * e^{x  ---->} 2* e^x * e^{x ?}

2. (4x + 2) * e^x

3. (6x + 1) * e^x

4. (3x - 2x) * e^x

5. (-x²  +9) *e^x

6. (x² +x -1) *e^x

Problem/Ansatz:

Die erste Teilaufgabe hab ich bereits versucht, jedoch bin ich mir unsicher, wie die anderen wegen den Klammern funktionieren sollen.

Vielen Dank im Voraus.

Comments

4. (3x - 2x) * e^x
stimmt das ?

Answer 1

Produktregel (richtig) benutzen.

Answer 2

Hallo,

allgemein:

y' = u'v +u v'

2. (4x + 2) * e^x

u= 4x+2  ;  v= e^x

u' =4       ;  v'=e^x

->

y'=4 *e^x +(4x+2) e^x

y'= e^x (4 +4x+2)

y'= e^x (6 +4x)

y'= 2 e^x (3 +2x)

Answer 3

5. (-x^2  +9) *e^x
-2x * e^x + ( -x^2 + 9 ) * e^x
e^x * ( -2x - x^2 + 9 )

Answer 4

zu 1.

$$ f(x)=2x\cdot e^x \Rightarrow f'(x)=2 e^x+2x\cdot e^x =2 e^x\cdot(1+x)$$

Answer 5

Aloha :)

Die Terme sind alle von der Form \(f(x)\cdot e^x\). Daher überlegen wir uns zunächst die Ableitung dazu. Die funktioniert mit der Produktregel:$$\left(\underbrace{f(x)}_{=u}\cdot \underbrace{e^x}_{=v}\right)'=\underbrace{f'(x)}_{=u'}\cdot\underbrace{e^x}_{=v}+\underbrace{f(x)}_{=u}\cdot\underbrace{e^x}_{=v'}=\left[f(x)+f'(x)\right]\cdot e^x$$Damit kannst du alle Teilaufgaben direkt lösen:

$$a)\;\;\left[2x\cdot e^x\right]'=\left(2x+2\right)\cdot e^x$$$$b)\;\;\left[(4x+2)\cdot e^x\right]'=\left(4x+2+4\right)\cdot e^x=(4x+6)\cdot e^x$$$$c)\;\;\left[(6x+1)\cdot e^x\right]'=\left(6x+1+6\right)\cdot e^x=(6x+7)\cdot e^x$$$$d)\;\;\left[(3x^2-2x)\cdot e^x\right]'=\left(3x^2-2x+6x-2\right)\cdot e^x=(3x^2+4x-2)\cdot e^x$$$$e)\;\;\left[(-x^2+9)\cdot e^x\right]'=\left(-x^2+9-2x\right)\cdot e^x=-(x^2+2x-9)\cdot e^x$$$$f)\;\;\left[(x^2+x-1)\cdot e^x\right]'=\left(x^2+x-1+2x+1\right)\cdot e^x=(x^2+3x)\cdot e^x$$