Suche ein Polynom für den arcsin(x), die richtige Integrationsmethode?

Question

Suche ein Polynom für den asin(x), welchen Fehler begehe ich?

folgende alternative Integrationsmethode wurde dafür genutzt:

http://www.mathelounge.de/676412/ist-diese-umformung-einer-differentialgleichung-korrekt

f'(f'(x))*f''(x)=(f(f'(x)))'

Beispiel f(x)=5x^3 und Beispiel f(x)=3x^2 wurden mit dieser Methode richtig nachgerechnet...!

f(x)=5x^3: f'(x)=15x^2, f''(x)=30x, f(f'(x))=16875x^6, daraus folgt:

f(f'(x))=f(15x^2)=16875x^6

gesucht wird f(x): x₂=15x₁^2, daraus folgt: x₁=x₂^0.5/15^0.5

f(x)=16875(x₁)^6=5x₂^3

die gleiche Vorgehensweise habe ich beim asin(x) genutzt:

asin(x)=f(x)

f'(x)=1/(1-x^2)^0.5, f''(x)=x/(1-x^2)^1.5

f(f'(x))=x/(1-x^2)^0.5

f(x)=(1-1/x₂^2)^0.5*|x₂|=asin(x₂), leider gibt es da keine Deckungsgleichheit der Graphen, nicht einmal die Umkehrfunktion dieses Graphen stimmt!

~plot~ (1-1/x^2)^0.5*x; asin(x) ~plot~

Welchen Fehler begehe ich? Latein, deshalb diese Frage!

Danke für die Antworten, Bert Wichmann!

Comments

Die beste Näherung bekommt man durch ein Taylorpolynom. Hier eines vom Grad 21.

~plot~ asin(x);x+x^3/6+(3x^5)/40+(5x^7)/112+(35x^9)/1152+(63x^11)/2816+(231x^13)/13312+(143x^15)/10240+(6435x^17)/557056+(12155x^19)/1245184+(46189x^21)/5505024 ~plot~

---

Meinst du arcussinus, d.h. arcsin oder area sinus hyperbolicus?

Das Ausrufezeichen in der Überschrift soll vermutlich nicht Fakultät bedeuten. Oder (?).

---

arcsin hattest du eigentlich hier schon mal https://www.mathelounge.de/649693/suche-polynom-arcsin-hier-koeffizientenvergleich-moglich

bzw.

https://www.mathelounge.de/590102/darstellung-arcsin-durch-polynom-trigonometrischer-ansatz

 (?)

---

Ich meine den arcsin(x)! Das Ausrufezeichen bedeutet keine Fakultät!

---

Es geht diesmal um die richtige Integrationsmethode...…!

---

Wahrscheinlich wird kein konstanter Faktor zur Berechnung des Integrals vorliegen, so daß man die Ableitungen höheren Grades, (f(f'(f''(x))))' zur Berechnung des Integrales des arcsin(x), richtig geschrieben(!), heranziehen muß!  Dankeschön, Ihr Herren Mathematiker, daß mir dies niemand sagt! Bert Wichmann!

Leider gibt es zur Bestimmung von verketteten Funktionen keinen Online-Rechner, so daß mir alle Hände gebunden sind...….!

---

"Des Integrales von 1/(1-x^2)^0.5 heranziehen muß" und nicht des Integrales des arcsin(x)!

Habe mich weiter oben vertan, auch dies ist menschlich, bei den vielen Sachen, die ich trinke.....!

Möchte niemanden auf diesem Portal beleidigen.....! Bert Wichmann!

---

@Bert: An wen richtet sich dein Kommentar? Braucht es eine Berichtigung in deiner Fragestellung von Seiten der Redaktion?

Falls du mathe_was_sonst eine Rückmeldung geben möchtest, musst du einen Kommentar unter der entsprechenden Antwort platzieren, damit das beim richtigen Posteingang angezeigt wird.

---

Dankeschön, Ihr Herren Mathematiker, daß mir dies niemand sagt! Bert Wichmann!

Hallo Bert,

was willst du uns damit sagen? Und was willst du denn genau wissen? Suchst du ein Polynom oder brauchst du eine Stammfunktion für den arcsin(x)?

Wenn deine Fragen klarer wären, könnten die Antworten auch deutlicher ausfallen.

Answer 1

Falls du eine Stammfunktion suchst, bietet sich partielle Integration an.

\(\int\underbrace{1}_{g'(x)} \cdot \underbrace{\arcsin(x)}_{f(x)}~dx =\underbrace{x}_{g(x)}\cdot \underbrace{\arcsin(x)}_{f(x)} -\int\underbrace{x}_{g(x)}\cdot \underbrace{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}_{f'(x)}~dx\)