Beweise Lemma über Faktorraum

Question

Aufgabe:

Lemma 5.9. Sei V ein K-Vektorraum und seien U ⊆ W ⊆ V lineare Unterraüme. Dann gilt:

(a) Sei {wi +U |i ∈ I} eine Basis von W/U und {vj +W | j ∈ J} eine Basis von V/W. Dann ist {wi + U,vj + U | i ∈ I,j ∈ J} eine Basis von V/U.

(b) Ist dimV/U = n < ∞, so ist dimV/U = dimV −dimU.

Problem/Ansatz: Die Gültigkeit von (a) ist vorausgesetzt. Wie beweist man (b)?

danke für eure Hilfe : )

Answer 1

Unter den gegebenen Voraussetzungen gar nicht. Man sollte z.B. noch fordern, dass V endlich dimensional ist.

Comments

Ich glaube du hast Recht. So habe ich auch beim Beweis des Satzes gedacht. Danke: )

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Du kannst ja mal z.B. den VR \( V := \mathbb{R}[X] \) und den UVR \( U := \left\langle X^i \right\rangle_{i\ge 1} \) betrachten. Dann ist \( \dim V = \infty \), \( \dim U = \infty \) und \( V/U \cong \mathbb{R} \) also \( \dim V/U = 1 < \infty \). Aber \( \infty - \infty \) ist ein undefinierter Ausdruck, insb. nicht gleich 1.

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jetzt ist mir sehr klar! : )