Aloha :)
Lu hat ja bereits sehr gut geantwortet. Trotzdem möchte ich noch eine Ergänzung geben...
Ich vermute nämlich stark, dass dir diese Aufgabe im Zusammenhang mit implizit definierten Funktionen gestellt wurde. Du kannst deine Funktionsgleichung für \(y^3(x)\) wie folgt umschreiben:$$F(x,y(x)):=x^3-3a^2x+y^3(x)=0$$Damit haben wir eine Funktion \(F=F(x,y)\) definiert, die für alle \(x\) aus der Definitionsmenge der Funktion \(y(x)\) den Wert \(0\) hat. Daher ist auch das totale Differential \(dF\) von \(F\) immer gleich \(0\):
$$0=dF=\frac{\partial F}{\partial x}dx+\frac{\partial F}{\partial y}dy=(3x^2-3a^2)dx+3y^2dy$$$$\;\;\Rightarrow\;\; 0=(3x^2-3a^2)+3y^2\,\frac{dy}{dx}$$$$\;\;\Rightarrow\;\; y'(x)=\frac{dy}{dx}=-\frac{3x^2-3a^2}{3y^2}=\frac{a^2-x^2}{y^2}$$Aus der Forderung \(y'(x)=0\) erhalten wir 2 Kandidaten für Extremwerte: \(x=\pm a\).
Die zweite Ableitung kannst du nun mit der Quotientenregel hinschreiben:
$$y''(x)=\frac{-2xy^2-(a^2-x^2)\,2yy'}{y^4}=-\frac{2x}{y^2}-\frac{2(y')^2}{y}$$$$\;\;\Rightarrow\;\;y''(\pm a)=\mp\frac{2a}{y^2}-\frac{2[y'(\pm a)]^2}{y}=\mp\frac{2a}{y^2}$$
Daher ist \(y''(a)<0\) und \(y''(-a)>0\). Bei \(x=a\) liegt also ein Maximum und bei \(x=-a\) liegt ein Minimum vor.
