Steckbriefaufgabe ganzrationale Funktion 3. Grades /

Question

Aufgabe:

Eine ganzrationale Funktion 3. Grades ist punktsymmetrisch zum Ursprung, hat ein Maximum bei x= Wurzel aus 3 und schließt im ersten Quadranten mit der x Achse eine Fläche mit dem Inhalt 9/4 ein. Um welche Funktion handelt es sich?

Problem/Ansatz:

f(x)= ax^3+cx

f’(x)=3ax^2+c

F(x)= 1/4 ax^4 +1/2cx^2

1. Maximum bei x= Wurzel aus 3

f’(Wurzel aus 3)= 0

-> 0=9a+c

2. Fläche mit Inhalt 9/4

Nullstellen:

0=ax^3+cx

x1=0  0=ax^2+c

x2= +/- Wurzel aus -c/a ( + weil es im 1. Quadranten sein soll)

Integral von 0 bis Wurzel aus -c/a

für 1/4 ax^4 +1/2cx^2

= 1/4a• (Wurzel aus -c/a)^4 + 1/2c • (Wurzel aus -c/a)^2

= 1/4 c^2/a + 1/2 (-c^2/a)  stimmt das noch??

= -1/4 c^2/a

9/4 =-1/4c^2a

Umstellen

0= -1/2c^2-9/4a  |•4 (um es mit der Gleichung aus der 1. Bedingung zu verrechnen)

0=-2c^2-9a (3 neu)

Gleichung 2 + 3 neu

0= -2c^2+c

Jetzt würde ich ja für c zwei Werte erhalten. Wo liegt mein Fehler, bzw. wie vereinfache ich das Integral richtig?

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Steckbriefaufgabe Integralrechnung

Stichworte: steckbriefaufgabe

Aufgabe:

Eine ganzrationale Funktion 3. Grades ist punktsymmetrisch zum Ursprung, hat ein Maximum bei x= Wurzel aus 3 und schließt im ersten Quadranten mit der x Achse eine Fläche mit dem Inhalt 9/4 ein. Um welche Funktion handelt es sich?

Problem/Ansatz:

f(x)= ax^3+cx

f’(x)=3ax^2+c

F(x)= 1/4 ax^4 +1/2cx^2

1. Maximum bei x= Wurzel aus 3

f’(Wurzel aus 3)= 0

-> 0=9a+c

2. Fläche mit Inhalt 9/4

Nullstellen:

0=ax^3+cx

x1=0  0=ax^2+c

x2= +/- Wurzel aus -c/a ( + weil es im 1. Quadranten sein soll)

Integral von 0 bis Wurzel aus -c/a

für 1/4 ax^4 +1/2cx^2

= 1/4a• (Wurzel aus -c/a)^4 + 1/2c • (Wurzel aus -c/a)^2

= 1/4 c^2/a + 1/2 (-c^2/a)  stimmt das noch??

= -1/4 c^2/a

9/4 =-1/4c^2a

Umstellen

0= -1/2c^2-9/4a  |•4 (um es mit der Gleichung aus der 1. Bedingung zu verrechnen)

0=-2c^2-9a (3 neu)

Gleichung 2 + 3 neu

0= -2c^2+c

Jetzt würde ich ja für c zwei Werte erhalten. Wo liegt mein Fehler, bzw. wie vereinfache ich das Integral richtig?

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Vom Duplikat:

Titel:

Stichworte:

Vom Duplikat:

Titel: Steckbriefaufgabe ganzrationale Funktion 3. Grades mit bestimmtem Integral

Stichworte: steckbriefaufgabe

Aufgabe:

Eine ganzrationale Funktion 3. Grades ist punktsymmetrisch zum Ursprung, hat ein Maximum bei x= Wurzel aus 3 und schließt im ersten Quadranten mit der x Achse eine Fläche mit dem Inhalt 9/4 ein. Um welche Funktion handelt es sich?

Problem/Ansatz:

f(x)= ax^3+cx

f’(x)=3ax^2+c

F(x)= 1/4 ax^4 +1/2cx^2

1. Maximum bei x= Wurzel aus 3

f’(Wurzel aus 3)= 0

-> 0=9a+c

2. Fläche mit Inhalt 9/4

Nullstellen:

0=ax^3+cx

x1=0  0=ax^2+c

x2= +/- Wurzel aus -c/a ( + weil es im 1. Quadranten sein soll)

Integral von 0 bis Wurzel aus -c/a

für 1/4 ax^4 +1/2cx^2

= 1/4a• (Wurzel aus -c/a)^4 + 1/2c • (Wurzel aus -c/a)^2

= 1/4 c^2/a + 1/2 (-c^2/a)  stimmt das noch??

= -1/4 c^2/a

9/4 =-1/4c^2a

Umstellen

0= -1/2c^2-9/4a  |•4 (um es mit der Gleichung aus der 1. Bedingung zu verrechnen)

0=-2c^2-9a (3 neu)

Gleichung 2 + 3 neu

0= -2c^2+c

Jetzt würde ich ja für c zwei Werte erhalten. Wo liegt mein Fehler, bzw. wie vereinfache ich das Integral richtig?

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Bitte Fragen nur einmal absenden.

Answer 1

0=9a+c

Also ist c/a=-9 bzw. -c/a=9 und die Wurzel daraus 3.

Du musst also das Integral von 0 bis 3 bilden.

...

Ergebnis: a=-1/9; c=1

https://www.desmos.com/calculator/mmlwwzrn3o

Zu deiner Lösungsidee:

1/4 ax^4 +1/2cx^2

= 1/4a• (Wurzel aus -c/a)^4 + 1/2c • (Wurzel aus -c/a)^2

= 1/4 c^2/a + 1/2 (-c^2/a)  stimmt das noch??

\(\dfrac{9}{4}=\dfrac{1}{4}ax^4+\dfrac{1}{2}cx^2\)

\(=\dfrac{1}{4}a\left(\sqrt{-\dfrac{c}{a}}\right)^4+\dfrac{1}{2}c\left(\sqrt{-\dfrac{c}{a}}\right)^2\)

\(=\dfrac{1}{4} a \cdot \dfrac{c^2}{a^2}+\dfrac{1}{2} c \cdot (-\dfrac{c}{a}) \)

\(=\dfrac{1}{4} \dfrac{c^2}{a}-\dfrac{1}{2}  \dfrac{c^2}{a} \)

\(=-\dfrac{1}{4} \dfrac{c^2}{a}\)

\(9a=-c^2\)

Mit Gleichung 1: \(9a+c= \Rightarrow 9a=-c\) erhältst du \(-c=-c^2\), also \(c=0\)  oder \(c=1\).

Für \(c=0\) wäre \(a=0\). Es muss aber gelten \(a\ne0\).

Darum ist \(f(x)=-\dfrac{1}{9}x^3+x\).

Answer 2

0= -1/2c²-9/4a

Eben waren es noch

        9/4 = -1/4 c²/a.

Da ist beim Umstellen etwas schief gelaufen.

Comments

Meinst du nur, dass aus 1/4 1/2 wurde oder ist noch was anderes falsch?