Summe umformen: Summanden rausziehen

Question

Aufgabe:

Es  geht um folgende Summe: ∑(1/n)*t^k, die Summe läuft von k=1 bis n.

Jetzt wurde bei dieser Summe das 1/n rausgezogen vor das Summenzeichen. Ich verstehe jedoch nicht wieso man das darf, das 1/n hat ja ein n was von der Summe abnhängt???

Answer 1

Aloha :)

$$\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{n}\,t^k=\left(\frac{1}{n}\,t^1+\frac{1}{n}\,t^2+\cdots+\frac{1}{n}\,t^n\right)=\frac{1}{n}\left(t^1+t^2+\cdots+t^n\right)=\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^nt^k$$

Der Faktor \(\frac{1}{n}\) ist ein konstanter Faktor, weil er unabhängig von der Laufvariablen \(k\) ist. Daher kannst du ihn ausklammern und vor die Summe setzen.

Für den Fall \(t=1\) ergibt die Summe dann \(\frac{1}{n}\cdot n=1\) und für \(t\ne1\) hilft die Summenformel für die geometrische Reihe weiter:

$$\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^nt^k=\frac{1}{n}\cdot\frac{1-t^{n+1}}{1-t}\quad;\quad\text{für }t\ne1$$

Comments

Achsoo, also läuft das n nicht zusammen mit dem k? Ich dachte immer n wäre abhängig von k

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Genau so ist es :)

Das \(n\) behält seinen Wert immer bei, es ist unabhängig vom \(k\).

Answer 2

Du darfst Faktoren die Konstant sind vor die Summe ziehen. Das n ist doch konstant. Nicht konstant ist hier das k, weil das k die Zählvariable ist.

Setze für n doch einfach mal 10 und danach einfach mal 100 ein und vereinfache dafür dann die Ausdrücke. Dann sollte das noch verständlicher sein.

Answer 3

Hallo,

1/n wird wie eine Konstante behandelt und darf deshalb davor geschrieben werden. n ist konstant, k nicht.

Answer 4

Hallo

das n hat ja nichts mit dem Summationsindes zu tun, also kann man es rausziehen, Wenn du es nicht so leicht siehst nimm mal n=4

dann hast du 1/4*t+1/4*t^2+1/4*t^3+1/4*t^4 und dass du hier 1/4 ausklammern kannst siehst du wohl selbst, und das ändert sich nicht, wenn n größer oder kleiner ist. Anders wäre es wenn in der summe 1/k*t^k stünde, damit hast du es wahrscheinlich verwechselt.

Gruß lul