+1 Daumen
2,2k Aufrufe

Aufgabe 3:

a) Sei f : AB f: A \longrightarrow B eine Funktion und N,N N, N^{\prime} \subseteq Z B B zwei beliebige Teilmengen. Zeigen Sie, dass dann die Mengenidentität f1(NN)=f1(N)f1(N) f^{-1}\left(N \cup N^{\prime}\right)=f^{-1}(N) \cup f^{-1}\left(N^{\prime}\right) gilt.

b) Zeigen Sie, dass eine Funktion f : AB f: A \longrightarrow B genau dann injektiv ist, wenn für beliebige Teilmengen M,MA M, M^{\prime} \subseteq A die Identität f(MM)=f(M)f(M) f\left(M \cap M^{\prime}\right)=f(M) \cap f\left(M^{\prime}\right) gilt. Beachten Sie, dass zum Beweis dieser Aussage zwei Richtungen notwendig sind.

Aufgabe 4:

Drei Funktionen f,g : R×RR f, g: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} und h : RR×R h: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \times \mathbb{R} sind definiert durch
f(x,y)=xy,g(x,y)=y2x+1 f(x, y)=x y, g(x, y)=y-2 x+1 und h(x)=(x,x2) h(x)=\left(x, | x^{2}\right)

Untersuchen Sie die Funktionen fh,gh : RR f h, g h: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} und hf : R×RR×R h f: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \times \mathbb{R} auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität und begründen Sie ihre Antworten kurz.

Avatar von

1 Antwort

+1 Daumen

Hier mal ein Teil von Aufgabe 4

Aufgabe 4: Funktionen II Drei Funktionen f‚g : R x R —> R und h : R —> R x R sind definiert durch

f(x, y) = xy,

g(x,y) = y — 2x+1 und

h(x) = (x | x2).

Untersuchen Sie die Funktionen fh, gh : R —> R und h f : R x R —> R x R auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität und begründen Sie ihre Antworten kurz.

 

h f : R x R —> R x R

Da h(x) = (x | x2) und beim Quadrieren nichts Negatives raukommen kann         kommt im Bildbereich sicher (1 | -1) nicht vor. Deshalb ist h f weder surjektiv noch bijektiv.

h f ist auch nicht injektiv, da es Bildpunkte gibt, die mehr als ein Urbild haben.

Bsp.         f(1 | 2) = 2 davon noch h also h(f(1|2)) = h(2) = (2| 4) 

                 f(2 | 1) = 2 davon noch h also h(f(2|1)) = h(2) = (2| 4)         Urbild von (2|4) ist auch (2|1)

 

f(x, y) = xy,

g(x,y) = y — 2x+1 und

h(x) = (x | x2).

fh, gh : R —> R

f(h(x)) = f(x|x2) = x3         R-->R ist bijektiv injektiv und surjektiv, da es u(x) = x3 entspricht.

g(h(x)) =g(x|x2) = x2 - 2x + 1 = (x – 1)2 

entspricht einer quadratischen Funktion. Parabel mit Scheitelpunkt in (1/0).      Bildbereich nur R+ also weder surjektiv noch bijektiv. Da g(h(0)) = g(h(2)) = 1 auch nicht injektiv.

Avatar von 162 k 🚀
damit f(h(x)) surjektiv ist, müsste die zahl 2 darstellbar sein, was in diesem fall nicht geht; entsprechend liegt doch keine surjektivität vor - habe ich das richtig verstanden?
oh gott die bearbeitungszeit scheint begrenzt zu sein....

daher nochmal in kurzform:

(1) f(h(x))

sollte nicht surjektiv sein, da z.b. 2 nicht darstellenbar ist - richtig?

(2) g(h(x)

zitat: "Da g(h(0)) = g(h(-2)) = 1"

mit -2 erhält man 9; mit 2 erhält man allerdings 1 (genauso wie mit 0; argumentation daher richtig)
(1) f(h(x))

sollte nicht surjektiv sein, da z.b. 2 nicht darstellenbar ist - richtig?

nein: x ist hier Element von R. Da ist auch die 3. Wurzel von 2 erlaubt.

(2) g(h(x)

zitat: "Da g(h(0)) = g(h(-2)) = 1"

auch nicht:

(-2+1)^2 = (-1)^2 = 1

g(x,y) = y — 2x+1 und

h(x) = (x | x2).

g(h(2)) = g(2 , 4) = 4 - 2*2 + 1 = 1

g(h(-2)) = g(-2 , 4) = 4 - 2*(-2) + 1 = 9

wie kommst du auf (x+1)2?

ups. DAnke! ich hatte da einen Fehler in der Umformung

 

g(h(x)) =g(x|x2) = x2 - 2x + 1 = (x+1)2 

Sollte

g(h(x)) =g(x|x2) = x2 - 2x + 1 = (x-1)2 

heissen

nun ist die Symmetrie auch bei mir bei x=1

g(h(2)) = g(h(0))= 1           Also ein Bsp. für 2 Urbilder von 1. Deshalb nicht injektiv.


 

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage