Steckbriefaufgaben (L-GS)

Question

ich brauche Hilfe bei den vorliegenden Steckbriefaufgaben. Ich habe keine wirkliche Ahnung, wie ich an die Sache rangehen soll. Ich habe schon alles ausprobiert, bin aber nie zu einem richtigen Ergebnis gekommen. Die Bedingungen kann ich meistens aufstellen, jedoch scheitere ich dann am Aufstellen des Linearen Gleichungssystems.

1. Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades hat im Punkt (1/4) eine waagerechte Tangente und bei (0/2) einen Wendepunkt. Wie lautet die Funktionsgleichung?

2. Hochspannungsleitungen hängen zwischen den gleichen hohen Masten durch. Höhenmessungen hatten folgende Ergebnisse: 20m von einem Masten entfernt hängt die Leitung in 42,8m Höhe, im Abstand von 80m sind es 35m und in einem von 120m sind es 31,8m. Wie weit ist der tiefste Punkt entfernt.

3. Der Graph einer achsensymmetrischen ganzrationalen Funktion 4. Grades geht durch den Punkt (0/2) und hat in (1/0) einen Tiefpunkt. Wie lautet seinen Funktionsgleichung?

Answer 1

1. a) also f'(1) =0 waagrecht

    b) (1,4) liegt auf der Kurve

    c) (0,2) liegt auf der Kurve

    d) f''(0)=0 Wendepunkt

allg. Ansatz: y = ax³ + bx² + cx +d (4 Unbekannte , 4 Informationen, könnte gehen)

                      y' = 3ax² + 2bx +c

                      y'' = 6ax + 2b

jetzt einsetzen:

0 = 3a + 2b + c

4 = a +b +c +d

2 = d

0 = b

0 = 3a +c  ⇒ c=-3a

4 = a + c +2

4 = a -3a +2 ⇒ a= -1

c=3,

Ergebnis Y = -1x³ + 3x +2

Comments

vielen dank!

Answer 2

3. Der Graph einer achsensymmetrischen ganzrationalen Funktion 4. Grades geht durch den Punkt \(Y(0|2)\) und hat in \(T_1(1|0) \)einen Tiefpunkt. Wie lautet seinen Funktionsgleichung?

Die Achsensymmetrie bewirkt, dass ein 2. Tiefpunkt bei \(T_2(-1|0)\) liegt.

Extremwerte auf der x-Achse sind immer doppelte Nullstellen. (Bei einer einfachen Nullstelle wird die x-Achse geschnitten.)

Ich fahre mit der Nullstellenform einer ganzrationalen Funktion 4. Grades fort.

\(f(x)=a(x-1)^2(x+1)^2\)

\(Y(0|2)\) liegt auf \(f\)

\(f(0)=a(0-1)^2(0+1)^2=a=2\)

\(f(x)=2(x-1)^2(x+1)^2\)

Answer 3

2. Hochspannungsleitungen hängen zwischen den gleichen hohen Masten durch. Höhenmessungen hatten folgende Ergebnisse: 20m von einem Masten entfernt hängt die Leitung in 42,8m Höhe, im Abstand von 80m sind es 35m und in einem von 120m sind es 31,8m. Wie weit ist der tiefste Punkt entfernt.

PS: Eigentlich hängen unbelastete Stahlseile nicht parabelförmig. Das lernt man aber erst in der Oberstufe.

Benutze https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm zur Hilfe und Selbstkontrolle.

Eigenschaften

f(20)=42.8
f(80)=35
f(120)=31.8

Gleichungssystem

400a + 20b + c = 42,8
6400a + 80b + c = 35
14400a + 120b + c = 31,8

Errechnete Funktion

f(x) = 0,0005·x² - 0,18·x + 46,2 = 0.0005·(x - 180)^2 + 30

Die Masten sind 46.2 m hoch.

Der tiefste Punkt ist jeweils 180 m von zwei benachbarten Masten entfernt und hängt dort 30 m hoch.

Skizze

~plot~ 0,0005x^2-0,18x+46,2;[[0|360|0|240]] ~plot~