Ableitung mit ln^2 und ln^3 - Komme nicht auf die richtige Lösung ln((x+1)^2/(x-1)3)

Question

Aufgabe:

Ich suche die Ableitung der folgenden Formel:

f(x) = ln\( \frac{(x+1)^2}{(x-1)^3} \)

Lösung:

f'(x) = \( \frac{(-x-5)}{(x^2-1)} \)

Problem:

Ich komme einfach mit meinen Rechenwegen nicht auf die richtige Lösung. Ich habe probiert mit der Log.Regel den Bruch aufzulösen. Anschließend ln(x+1)^2 als ln(x+1) * ln(x+1) mit der Produktregel zu berechnen und den hinteren Teil ebenfalls mit der Produktregel mit 3 Faktoren. Das Ganze habe ich jedoch falsch gemacht (nur der Nenner war in der Lösung bei mir richtig) und das Ganze wurde sehr kompliziert, also glaube ich nicht, dass mein Ansatz hier helfen würde.

Ich würde mich über eine Antwort sehr freuen!!

Answer 1

Funktionsterm umformen:

f(x)=2ln(x+1)-3ln(x-1)

Dann ableiten:

f '(x)=\( \frac{2}{x+1} \) -\( \frac{3}{x-1} \)

=\( \frac{2x-2-3x-3}{x^2-1} \) =\( \frac{-x-5}{x^2-1} \) .

Comments

Wieso kannst man die Exponenten außerhalb der Klammer einfach vor das ln schreiben? Gilt das Logarithmusgesetz nicht nur, wenn der Exponent in der Klammer steht?

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Nachdem du den Logarithmus eines Bruches als Differenz von Logarithmen geschrieben hast, stehen da zwei Logarithmen von Potenzen.

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Was dort genau steht verstehe ich, ich verstehe nur nicht wie man von \( ln(x+1)^{2} \) - \( ln(x-1)^{3} \) auf \( 2ln(x+1) - 3ln(x-1) \) kommt. Vielen Dank schonmal für die Hilfe!

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Der Bruchstich hat den Charakter einer Klammer. Setze x+1=a und x-1=b. Dann steht da ln(\( \frac{a^{2}}{b^{3}} \)) und das ist ln(a²)-ln(b³).      

Answer 2

f ( x ) = ln ( (x+1)^2 / (x-1)^3)

f ( x ) = ln ( (x+1)^2 ) - ln ( (x-1)^3)
f ( x ) = 2 * ln (x+1)  - ln 3 * (x-1)
allgemein : [ ln (term) ]´ = ( term ´ ) / term
f ´( x ) = 2 * 1 / (x+1) - 3 * 1 / ( x-1)

Answer 3

Hallo,

y= ln(x+1)^2  -ln (x-1)^3

y= 2 ln(x+1) - 3 ln(x-1)

y'  =2/(x+1) - 3/(x-1)

y'= (2(x-1) -(3(x+1)) /((x+1)(x-1))

y'=(2x -2 -3x-3)/(x^2 -1)

y'=  (-x-5)/(x^2 -1)

Comments

Ich verstehe nur nicht wie man von ln(x+1)2 - ln(x−1)3 auf 2ln(x+1)−3ln(x−1) kommt.

Das Logarithmusgesetz gilt doch nur für ln(x^2) und nicht ln(x)^2 oder?

Vielen Dank schonmal für die Hilfe!

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Allgemein gilt:

ln(a^r )= r *ln(a)

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Aber in dem Fall ist es ja

ln(a)^r  und nicht ln(a^r)

Answer 4

$$ f(x) = \ln \dfrac{(x+1)^2}{(x-1)^3} $$ Unter Verwendung der Kettenregel und der Quotientenregel ist es recht einfach: $$ f'(x) = \dfrac{(x-1)^3}{(x+1)^2} \cdot \dfrac{2\cdot(x+1)\cdot(x-1)^3-(x+1)^2\cdot 3\cdot(x-1)^2}{(x-1)^6}\\ \phantom{f'(x)} = \dfrac{1}{(x+1)} \cdot \dfrac{2\cdot(x-1)-(x+1)\cdot 3}{(x-1)} \\ \phantom{f'(x)} = \dfrac{2}{(x+1)} - \dfrac{3}{(x-1)} $$ Im Schritt zur vorletzten Zeile wurde umfangreich gekürzt. Danach wurde zerlegt.