Verhalten der Funktion an den Stellen, an denen sie nicht definiert ist

Question

Aufgabe:

f(x) = \( \frac{x^2}{(x-1)^2} \)

Es soll das Verhalten der Funktion an den Stellen untersucht werden, an denen sie nicht definiert ist.

Mein Ergebnis: D(f) = ℝ \ {1}

\( \lim\limits_{x\to1} \) f(x) = \( \lim\limits_{x\to x > 1} \) \( \frac{x^2}{(x-1)^2} \) = \( \frac{1}{0} \) = + ∞, da Konstante durch 0 immer gegen ∞ geht, oder?

\( \lim\limits_{x\to1} \) f(x) = \( \lim\limits_{x\to x < 1} \) \( \frac{x^2}{(x-1)^2} \) = \( \frac{1}{0} \) = + ∞, auch hier wieder + unendlich, oder?

Ich habe zu der Aufgabe leider keine Lösungen, daher würde ich mich freuen, wenn mich jemand korrigieren könnte.

Comments

1/0 ist nicht definiert. Also macht das Gleichzeichen dort keinen Sinn.

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Okay, vielen Dank. Und wie würde das Ergebnis aussehen, wenn das ganze nicht gegen 1 sondern gegen + - ∞ geht ?
Falls meine Lösung stimmen sollte, dann habe ich beim positiven Fall - ∞ und beim negativen + ∞

hoffentlich versteht man, was ich damit meine :D

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nein: 2mal +

(x-1)² ist immer ≥0

\( \lim\limits_{x\to±\infty} \) f(x) = +1

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Vielen Dank! :)

Kannst du mir bitte die Zwischenschritte aufschreiben? Hat du einfach direkt in die Funktion irgendwelche Werte eingesetzt?

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\( \lim\limits_{x\to±\infty} \) \( \frac{x^{2}}{(x-1)^{2}} \)

= \( \lim\limits_{x\to±\infty} \) \( \frac{x^{2}}{x^{2}-2x+1} \)

= \( \lim\limits_{x\to±\infty} \) \( \frac{x^{2}}{x^{2}(1-2/x+1/x^{2})} \)

= \( \lim\limits_{x\to±\infty} \) \( \frac{1}{1(1-2/x+1/x^{2})} \)

=1  Die Brüche im Nenner gehen gegen 0.

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Es ist allgemein so, dass eine Konstante durch x gegen 0 geht, richtig?

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wenn x groß!

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Reicht das als Erklärung?

Answer 1

\( \lim_{x\to x > 1} \)

ergibt keinen Sinn

\( \frac{1}{0} \)

ist nicht erlaubt.

Mache einen sauberen Grenzwert.

Answer 2

Richtig gedacht, aber die Schreibweise taugt nichts:

f(x) -----------→ ∞

       x→1, x>1

So: unter dem langen Pfeil steht die Bedingung

Answer 3

Zunächst den Graph der Funktion

Ich würde so schreiben
lim x -> 1(-)  [ x^2 / ( x-1)^2 ] = 1 / 0(+) = + ∞
lim x -> 1(+)  [ x^2 / ( x-1)^2 ] = 1 / 0(+) = + ∞

und
lim x -> -∞  [ x^2 / ( x-1)^2 ] = x^2 / ( x^2 -2x + 1)
lim x -> -∞  [ x^2 / ( x^2 -2x + 1) ] = x^2 / [ x^2 * ( 1 -2/x + 1/x^2) ]
x^2 kürzen
1 / ( 1 - 2/x + 1/x^2 )
x -> - ∞
1 / ( 1 - 0 + 0 )
1 / 1

Comments

Es ist allgemein so, dass eine Konstante
durch x gegen 0 geht, richtig?

Mach dir einmal die Reihe
1 / x :
x = 1 => 1 
x = 10 => 1/10 = 0.1
x = 100 => 1/100 = 0.01
x = 1000 => 1/1000 = 0.001
....
lim x -> ∞   1/∞ = 0