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ich verzweifel an einer Übungsaufgabe im Bereich Lineare Algebra. Hab mich schon überall informiert und das Prinzip ist auch irgendwie klar. Allerdings haut das alles nicht so hin wie ich möchte.

Hier zur Aufgabe:

Ich habe den Vektorraum R5 gegeben und dazu eine Menge M={v1,v2,v3,v4} mit

v1=(1,0,1,0,1)
v2=(1,1,1,1,1)
v3=(1,2,1,2,1)
v4=(3,1,3,1,3).

Die Aufgabe lautet: Bestimme eine Basis B' von span(M)

Klar ist: ich muss schauen, ob die Vektoren linear unabhängig sind und ob diese ein Erzeugendensystem bilden.
Jedoch lässt sich jeder einzelne Vektor aus M durch Linearkombination der anderen Vektoren darstellen, sodass irgendwie alle Vektoren abhängig sind. Muss ich mir dann eine Basis aus dem Finger ziehen oder was ist geplant ?

Vielen lieben Dank schon einmal im Voraus :)

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Aloha :)

Schreibe die Vektoren des Spanns als Zeilen in eine Matrix und bringe sie mit dem Gauß-Verfahren auf Stufenform. Alle Zeilen, die nicht vollständig mit \(0\) besetzt sind, liefern dir einen Basisvektor.

$$\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 1 & 0 & 1\\1 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & 2 & 1 & 2 & 1\\3 & 1 & 3 & 1 & 3\end{array}\right)\begin{array}{l} {}  \\ -Z1 \\ -Z1 \\-3\cdot Z1\end{array}$$$$\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 1 & 0 & 1\\0 & 1 & 0 & 1 & 0\\0 & 2 & 0 & 2 & 0\\0 & 1 & 0 & 1 & 0\end{array}\right)\begin{array}{l} {}  \\ {} \\ -2\cdot Z2 \\-Z2\end{array}$$$$\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 1 & 0 & 1\\0 & 1 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$$Das war's schon, eine mögliche Basis lautet:$$B=(\;(1,0,1,0,1)\,,\;(0,1,0,1,0)\;)$$

Aus den Kommentaren ist ersichtlich, dass du das Gauß-Verfahren noch nicht kennst. Du hast aber eine Vermutung, wie die Basis aussieht. Daher kannst du zeigen, dass man alle Vektoren des Spanns durch die vermuteten Basisvektoren ausdrücken kann.

$$B=\{\vec b_1\,,\,\vec b_2\}=\left\{\left(\begin{array}{c}1\\0\\1\\0\\1\end{array}\right)\,,\,\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\\1\\0\end{array}\right)\right\}$$$$v_1=\left(\begin{array}{c}1\\0\\1\\0\\1\end{array}\right)=\vec b_1$$$$v_2=\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\\1\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\0\\1\\0\\1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\\1\\0\end{array}\right)=\vec b_1+\vec b_2$$$$v_3=\left(\begin{array}{c}1\\2\\1\\2\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\0\\1\\0\\1\end{array}\right)+2\cdot\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\\1\\0\end{array}\right)=\vec b_1+2\vec b_2$$$$v_4=\left(\begin{array}{c}3\\1\\3\\1\\3\end{array}\right)=3\cdot\left(\begin{array}{c}1\\0\\1\\0\\1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\\1\\0\end{array}\right)=3\vec b_1+\vec b_2$$

Wenn du alles perfekt machen möchtest, musst du auch noch zeigen, dass die Basis-Vektoren voneinander unabhängig sind. Das ist hier aber offensichtlich.

Avatar von 152 k 🚀

Hey vielen Dank für die schnelle Antwort. Das Problem ist leider, wir hatten Matrizen bis dato nicht. Also ich könnte die Basis nicht mittels Matrizen bestimmen. Deshalb muss ich auf ne recht altmodische Variante zurückgreifen.


Auf die zwei Vektoren hätte ich auch getippt, hätte aber nicht groß begründen können wie ich auf die komme

Nach deinem Kommentar habe ich meine Antwort nochmal ergänzt, weil du ja noch kein Gauß-Verfahren hattest.

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