Aloha :)
Schreibe die Vektoren des Spanns als Zeilen in eine Matrix und bringe sie mit dem Gauß-Verfahren auf Stufenform. Alle Zeilen, die nicht vollständig mit \(0\) besetzt sind, liefern dir einen Basisvektor.
$$\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 1 & 0 & 1\\1 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & 2 & 1 & 2 & 1\\3 & 1 & 3 & 1 & 3\end{array}\right)\begin{array}{l} {} \\ -Z1 \\ -Z1 \\-3\cdot Z1\end{array}$$$$\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 1 & 0 & 1\\0 & 1 & 0 & 1 & 0\\0 & 2 & 0 & 2 & 0\\0 & 1 & 0 & 1 & 0\end{array}\right)\begin{array}{l} {} \\ {} \\ -2\cdot Z2 \\-Z2\end{array}$$$$\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 1 & 0 & 1\\0 & 1 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$$Das war's schon, eine mögliche Basis lautet:$$B=(\;(1,0,1,0,1)\,,\;(0,1,0,1,0)\;)$$
Aus den Kommentaren ist ersichtlich, dass du das Gauß-Verfahren noch nicht kennst. Du hast aber eine Vermutung, wie die Basis aussieht. Daher kannst du zeigen, dass man alle Vektoren des Spanns durch die vermuteten Basisvektoren ausdrücken kann.
$$B=\{\vec b_1\,,\,\vec b_2\}=\left\{\left(\begin{array}{c}1\\0\\1\\0\\1\end{array}\right)\,,\,\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\\1\\0\end{array}\right)\right\}$$$$v_1=\left(\begin{array}{c}1\\0\\1\\0\\1\end{array}\right)=\vec b_1$$$$v_2=\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\\1\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\0\\1\\0\\1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\\1\\0\end{array}\right)=\vec b_1+\vec b_2$$$$v_3=\left(\begin{array}{c}1\\2\\1\\2\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\0\\1\\0\\1\end{array}\right)+2\cdot\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\\1\\0\end{array}\right)=\vec b_1+2\vec b_2$$$$v_4=\left(\begin{array}{c}3\\1\\3\\1\\3\end{array}\right)=3\cdot\left(\begin{array}{c}1\\0\\1\\0\\1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\\1\\0\end{array}\right)=3\vec b_1+\vec b_2$$
Wenn du alles perfekt machen möchtest, musst du auch noch zeigen, dass die Basis-Vektoren voneinander unabhängig sind. Das ist hier aber offensichtlich.
