Graphen Nullstellen und gemeinsamen Punkt

Question

Aufgabe: Zu jedem K E R ist eine Funktion fk gegeben durch Fk(x) =x^2+kx-k. İhr Graph sei Ck.

a) Zeichnen Sie C0, C1, C-1,C-2 in ein gemeinsamen Koordinatensystem.

b) Bestimmen Sie für ein allgemeines k das global Minimum der Funktion fk.

c) Für welchen Wert von k berührt Ck die Achse?

d) Welche Funktionen fk haben zwei verschiedene Nullstellen? Welche haben keine Nullstellen?

e) Zeigen Sie, dass es einen Punkt gibt, durch den alle Kur en Ck gehen. Geben Sie an.

Die a habe ıch verstanden ist ja nur zeichnen. Die b kann man ja mit dem Gtr ermitteln. Ab der Aufgabe c versteh ıch es nicht mehr.

Answer 1

a) ~plot~ x^2;x^2+x-1;x^2-x+1;x^2-2x+2; ~plot~

b) F ' _k(x)=2x+k ==>  Min bei  x = -k/2 .

c) berührt die x-Achse: Dann ist an der Nullstelle

auch F ' _k(x) =0   Da ist aber nur bei  x = -k/2 der Fall, also

muss bei  x = -k/2 eine Nullstelle sein:

           F_k(-k/2) = 0 <=>  -k^2 / 4 - k = 0 <=> k=-4 oder k=o

d)  zwei Nullstellen, wenn x^2 +kx -k = 0 zwei Lösungen hat.

Also  (-k/2)^2 +k > 0 <=> k>0 oder k<-4

e) Alle gehen durch (1;1) , weil für alle k gilt

F_k(1)=1

Comments

Wie sind Sie bei c, e und f auf Diese Ergebnisses gekommen? Könnten Sie mir ihre Vorgehensweise zeigen also diese Schritte kann ıch nachvollziehen.

waere echt sehr nett

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          Fk(-k/2) = 0 <=>  -k2 / 4 - k = 0 <=> k=-4 oder k=o

c) Die Parabel berührt die x-Achse, wenn der Scheitelpunkt = Minimum auf ihr liegt.

Wie unter b) gezeigt, liegt das Minimum bei -\( \frac{k}{2} \)

also muss bei  x = -k/2 eine Nullstelle sein:

$$⇒ F_k(-\frac{k}{2})=0\\ (-\frac{k}{2})^2+k(-\frac{k}{2})-k=0\\ \frac{k^2}{4}-\frac{k^2}{2}-k=0\qquad |\cdot 4\\ k^2-2k^2-4k=0\\ -k^2-4k=0\\-k(k+4)=0⇒\\ k=0 \quad ∨\quad k+4=0\\k=0\quad ∨\quad k=-4$$

jetzt klar?

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zur b)

wie kommt man weiter zur y koordinate ?

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Wenn die Punkte die x-Achse berühren, ist die y-Koordinate 0.