Aloha :)
Eine quadratische Gleichung mit den Nullstellen \(a\) und \(b\) hat die Form:$$c\cdot(x-a)\cdot(x-b)=0$$
Dabei ist \(c\) irgendeine Konstante \(\ne0\) ist. In deinen Beispielen ist \(c=1\). Wenn du die beiden Klammern nun ausmultiplizierst, bekommst du:$$c\cdot\left(x^2-ax-bx+ab\right)=0$$oder noch etwas weiter zusammengefasst:$$c\cdot\left[x^2\underbrace{-(a+b)}_{=p}x+\underbrace{ab}_{=q}\right]=0$$
Daran kannst du Folgendes erkennen:
1) \(q\) ist das Produkt aus den beiden Nullstellen: \(q=ab\).
2) \(p\) ist die negative Summe der beiden Nullstellen: \(p=-(a+b)\).
In deinen Beispielen ist gefragt, welche ganzzahligen Lösungen die Gleichungen haben können. Schauen wir uns das erste Beispiel an:$$x^2+px+16=0$$Es ist \(q=16\). Wir müssen alle ganzzahligen Werte für \(a\) und \(b\) finden, sodass \(ab=16\) gilt:$$1\cdot16=2\cdot8=4\cdot4=(-1)\cdot(-16)=(-2)\cdot(-8)=(-4)\cdot(-4)$$
Im zweiten Beispiel$$x^2+px+16=0$$geht es genauso, nur ist jetzt \(q=12\). Wir müssen alle ganzzahligen Werte für \(a\) und \(b\) finden, sodass \(ab=12\) gilt:$$1\cdot12=2\cdot6=3\cdot4=(-1)\cdot(-12)=(-2)\cdot(-6)=(-3)\cdot(-4)$$
