Temperaturentwicklung einer Tasse mit Wasser (bestimmter Zeitpunkt gesucht)

Question

Aufgabe:

Eine Tasse mit Wasser der Temperatur T1 = 20°C wird zum Zeitpunkt t0 = 0 min in einen Kühlschrank der Temperatur T0 = 4°C gestellt. Zu welchem Zeitpunkt t erreicht das Wasser in der Tasse erstmals die Temperatur 6°C ? (Hinweis: Die Temperatur T(t) des Wassers in der Tasse entwickelt sich gemäß der Formel:

\( T(t)=T_{0}+\left(T_{1}-T_{0}\right) \cdot \exp \left(\frac{-0,2}{\min } \cdot t\right) \)

Problem/Ansatz:

Ich meine, dass ich t auf die andere Seite holen muss. Ich komme aber einfach nicht drauf, wie ich das machen muss. Muss ich zuerst alle bekannten Werte einsetzen?

Answer 1

6=4+16e^-0,2t

Umwandeln in

1/8=e^-0,2t

auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus

ln(1/8)=-0,2t oder t=ln(1/8)/(-0,2)

Dann ist t≈10,4 min.

Comments

Dankeschön für deine Antwort, das hilft mir sehr viel weiter! Eine Frage hätte ich aber noch. Bei e^-0,2t , kann ich da die Minuten einfach wegfallen lassen?    (e^{\( \frac{-0,2}{min} \)*t} ) Ich dachte erst ich muss da die 0 Minuten eintragen, aber das macht ja keinen Sinn, man kann ja nicht durch 0 teilen. Dankeschön für deine Hilfe!

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In der Physik ist es üblich, die Einheiten (hier: Minuten) in die Formel hinein zu schreiben. In der Mathematik ist das meistens hinderlich bis verwirrend. Da aber viele Mathelehrer auch Physiklehrer sind, schreiben die dann solche Formeln.

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Bei e^(-0,2t) , kann ich da die Minuten einfach wegfallen lassen ?

Das steht in der Ausgangsformel nicht. Dort steht
e^([-0,2/min]*t)
Setze ich in t der Einheit min ein kürzt es sich weg.
Übrig bleibt
e^([-0,2*t) , ein Wert ohne Einheit

Zusammen mit
T(t) = min + ( min - min ) * e^(-0.2*t)
ergibt sich als Einheit : min

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Morgen Roland,
es interessiert mich. Was ist
(7m)^2 =
ln(7m) =

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Meinem bereits gegebenem Kommentar füge ich nichts hinzu.

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Da aber viele Mathelehrer auch Physiklehrer sind, schreiben die dann solche Formeln.

Und dann ist der Ratschlag an Fragesteller(inne)n , die Einheit einfach wegzulassen, extrem fahrlässig.

Answer 2

T(t) = T0 + ( T1 - T0 ) * e^(-0.2*t)
Allgemeine Umstellung
T(t) - T0 = ( T1 - T0 ) * e^(-0.2*t)
( T(t) - T0 ) /  ( T1 - T0 ) = e^(-0.2*t)  | ln ()
ln [ ( T(t) - T0 ) /  ( T1 - T0 ) ] = -0.2*t
t = ln [ ( T(t) - T0 ) /  ( T1 - T0 ) ] / -0.2

t = ln [ ( 6 - 4 ) /  ( 20 - 4 ) ] / -0.2
t = 10.4 min