Spiegelung Matrix Vektoren

Question

Aufgabe:

Ich bräuchte Hilfe bei dieser Aufgabe. Ich weiß nicht wie ich da ansetzten soll:

In R³ seien folgende Objekte 
Ein Vektor n=(-1, 2, 1)^t als Richtungsvektor eine Gerade g aufgespannt. Eine Abbildung f R^{3 ->} R nämlich senkrechte Projektion auf g. Ferner ein Vektor x=(3, 3, 3)^t

a) Sei y=f(x) das Bild von x nach der senkrechten Projektion

b) Sei M die zur Abbildung f gehörige Matrix (in den kanonischen Koordinaten)

Problem/Ansatz:

Ich habe mir gedacht das Kreuzprodukt anzuwenden. Sicher bin ich mir da nicht

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Zu:  "als Richtungsvektor eine Gerade g aufgespannt"

gibt es sicher noch mehr. Wenigstens noch einen Punkt, durch den die Gerade geht.

Und geht es um Spiegelung oder Projektion ?

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Das habe ich mir auch gedacht. Ich weiß aber nicht wie ich den Richtingsvektor g herzaubern soll. Allgemein hat die Aufgabe sehr wenige Informationen.

Answer 1

Hallo icyavocado,

Höchstwahrscheinlich ist bei b) nach der Abbildungsmatrix \(M\) gefragt. Betrachtet man eine senkrechte Projektion eines Punktes \(x\) auf eine Ursprungsgerade, die durch den Vektor \(n\) gegeben ist, so sei der projizierte Punkt \(y\). Dann steht der Differenzvektor \(y-x\) zwangsläufig senkrecht auf \(n\). Es gilt also $$n^T (y-x) = 0$$Gleichzeitig ist \(y\) ein Punkt auf der Geraden, folglich gibt es ein \(t \in \mathbb{R}\), für das gilt $$y = n \cdot t$$Einsetzen in obigen Gleichung und auflösen nach \(t\) gibt$$\begin{aligned} n^T(n t -x) &= 0 \\ n^Tnt = n^T x \\ t = \frac{n^Tx}{n^Tn}\end{aligned}$$um zum \(y\) zu kommen, setzt man dies wieder in die Geradengleichung ein$$y = n \cdot t = n n^T \frac 1{n^Tn} x$$und dieses \(nn^T\) ist das sogenannte diadische Produkt zweier Vektoren; im Gegensatz zum Skalarprodukt \(n^Tn\). Und dieses Produkt ist eine Matrix. Folglich ist$$y = n n^T \frac 1{n^Tn} x = Mx$$\(n^Tn = 6\) und mit Einsetzen der Zahlenwerte ergibt sich \(M\) zu$$M = \begin{pmatrix} -1\\ 2\\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1& 2& 1 \end{pmatrix} \cdot \frac 16 = \frac 16 \begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 \\ -2 & 4& 2 \\ -1& 2& 1 \end{pmatrix}$$ für \(x=\begin{pmatrix} 3& 3& 3 \end{pmatrix}^T\) ergibt sich ein \(y\) von $$y = \frac 16 \begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 \\ -2 & 4& 2 \\ -1& 2& 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3\\ 3\\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\\ 2\\ 1 \end{pmatrix} $$Das ganze noch mal zur Anschauung in Geoknecht3D

(klick auf das Bild und rotiere die Szene mit der Maus)

Gruß Werner

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Hallo Werner,

vielen Dank für die Erklärung. Ich hab die Aufgabe jetzt vestanden.

Liebe Grüße

Answer 2

Text erkannt:

In \( \mathrm{R}^{3} \) seien folgende Objekte Ein Vektor \( n=(-1,2,1)^{t} \) als Richtungsvektor eine Gerade \( g \) aufgespannt. Eine Abbildung \( f R^{3} \rightarrow R \) nämlich senkrechte Projektion auf g. Ferner ein Vektor \( x=(3,3,3)^{t} \)
a) Sei \( y=f(x) \) das Bild von \( x \) nach der senkrechten Projektion
b) Sei M die zur Abbildung f gehörige Matrix (in den kanonischen Koordinaten)

Sollte das die vollständige Fragestellung sein, brauchst du nichts zu tun.

Es gibt weder eine Frage noch sonst etwas. Schreib die Fragestellung, die du erhalten hast einfach ab und gib sie am Montag mit diesem Kommentar ab. Mach dir ein schönes Wochenende!

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Das werde ich auch machen. Danke du dir auch.