Normalenvektor wie angeben

Question

Aufgabe:

Geben Sie einen Normalenvektor der Ebene E mit der Gleichung x₃-6=0 an.

Beschreiben sie diese Ebene E in Worten.

Problem/Ansatz:

Wie soll ich hier den Vektor bestimmen? also x₂ und x₁ hab ich nicht gegeben, nur x₃ und d=6 oder?   

Answer 1

Wenn eine Ebene durch eine Gleichung der Form A*x1 + B*x2 + C*x3 + D = 0 gegeben ist, dann sind bekanntlich (A,B,C) immer die Koordinaten einer Normalenvektors zur Ebene. Im Beispiel hat er also die Form (0,0,1). Dieser Vektor zeigt in die Richtung der dritten Koordinatenachse. Also ist die Ebene parallel zur x1-x2-Ebene, und sie geht durch den auf der dritten Koordinatenachse liegenden Punkt (0,0,6).

Answer 2

Die Ebene E in Normalenform: \( \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix} \) ·\( \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \) =6. Normalenvektor \( \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \) .   

Comments

Fehlt da nicht noch was? Die gleichung lautet ja

( x-p) • n

Natürlich über allen ein Pfeil, weil das Vektoren sind. Vektor p ist ja einfach nur ein Punkt der auf der Ebene liegt, wie soll ich den heruaskriegen

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Das ist keine Gleichung. Soll wohl heißen ( x-p) • n=0 Dann ist \( \vec{x} \) ·\( \vec{n} \) - \( \vec{p} \) ·\( \vec{n} \) =0. Und hier ist \( \vec{p} \) ·\( \vec{n} \)=6

Answer 3

$$0\cdot x_1+0\cdot x_2+1\cdot x_3=6$$

Comments

Wie kann ich die Ebene in Worten beschreiben

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Das ist eine Ebene parallel zur x₁x₂-Ebene im Abstand 6 von (0|0|0).

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Woher erkenne ich, dass die Ebene parallel zur x1 x2 ebene ist?

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Die Normale ist parallel zur x₃-Achse.

Answer 4

Du kannst es doch einfach umschreiben:

$$\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_{1}\\x_{2}\\x_{3} \end{pmatrix}-6=0$$

Comments

Wie kann ich die Ebene in worten beschreiben