n-dimensionaler R-Vektorraum, sowie invertierbare lineare Abbildung f: V -> V zu Zeigen, ob Aussagen äquivalent sind.

Question

Fragestellung:

Gegeben  sei ein n-dimensionaler R-Vektorraum V , sowie eine invertierbare lineare Abbildung f : V → V . Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

  i) Die darstellende Matrix von f ist unabhängig von der gewählten Basis.

  ii) Es existiert ein 0 ≠ a ∈ R, so dass f = a·id_V

Problem:

Hänge gerade bei dieser Aufgabe fest und weiß nicht wie ich da rangehen soll.

Bin dankbar für jede Hilfe!

Answer 1

Die Äquivalenz der Aussagen zeigt man in zwei Schritten, (i) ⇒ (ii) und (ii) ⇒ (i) . Das ist die übliche Vorgehensweise. Für (ii) ⇒ (i) musst du dir nur überlegen, das die darstellende Matrix von a * id_V  bezüglich jeder Basis einfach die a-fache Einheitsmatrix ist. Also immer die gleiche, egal bei welcher Basis. Mehr ist hier nicht zu zeigen. Umgekehrt ist das schon schwieriger. Aus der Tatsache, dass alle darstellenden Matrizen identisch sind, musst du schließen, dass diese ein Vielfaches der Einheitsmatrix sein muss. Da eine Basistransformation zu einer Matrix der Form T^-1*A*T führt, heißt das: T^-1*A*T = A für alle invertierbaren Matrizen T, oder äquivalent A*T = T*A. Die Matrix A "kommutiert" also mit allen invertierbaren Matrizen. Daraus kann man schließen, dass A ein Vielfaches der Einheitsmatrix ist. Wenn du das mit dem "Kommutieren" mal googelst, wirst du auch Beweise dazu finden.