Rotationskörper, aus Mantelelfläche Höhe bestimmen

Question

Ein Glaskörper entstehe durch die Rotation von f: [-a,a] -> [0,a²], f(x)=x² um die y- Achse.

Die Mantelfläche des Glases betrage im Folgenden M=10,5 Flächeneinheiten (dimensionlos arbeiten). Wie hoch ist das Glas?

Problem/Ansatz:

Die Formel für die Mantelfäche kenne ich.

2 pi integral f(x) sqrt (1+f'(x)²)dx        Grenzen y=1 und y=a²

Gibts hier irgendwo eine Anleitung wie man die Formelzeichen eingibt? War vorher noch nie in einem Forum.

Für die Rotation um die y-Achse habe ich die Umkehrfunktion sqrt(y), die Ableitung 1/(2sqrt(y))gebildet und die Formel für die y-Achse angepasst.

Nur komme ich jetzt leider nicht weiter. Die Höhe wäre f(y)?

Answer 1

Hier erstmal nur ein ungeprüfter Weg. Prüf das mal bitte und mache am Ende auch die Probe.

f(x) = √x

f'(x) = 1/(2·√x)

M = ∫ (0 bis h) (2·pi·f(x)·√(1 + (f'(x))^2)) dx

M = ∫ (0 bis h) (2·pi·√x·√(1 + (1/(2·√x))^2)) dx

M = ∫ (0 bis h) (2·pi·√x·√(1 + 1/(4·x))) dx

M = ∫ (0 bis h) 2·pi·√(x + x/(4·x)) dx

M = ∫ (0 bis h) 2·pi·√(x + 1/4) dx

Subst. z = x + 1/4

M = ∫ (1/4 bis h + 1/4) 2·pi·√z dz

M = [4/3·pi·z^(3/2)] (1/4 bis h + 1/4)

M = 4/3·pi·(h + 1/4)^(3/2) - 4/3·pi·(1/4)^(3/2)

4/3·pi·(h + 1/4)^(3/2) = M + 4/3·pi·(1/4)^(3/2)

(h + 1/4)^(3/2) = 3/(4·pi)·M + (1/4)^(3/2)

h + 1/4 = (3/(4·pi)·M + (1/4)^(3/2))^(2/3)

h = (3/(4·pi)·M + (1/4)^(3/2))^(2/3) - 1/4

Mal M einsetzen

h = (3/(4·pi)·10.5 + (1/4)^(3/2))^(2/3) - 1/4 = 1.656147596

Comments

CAS sind auch nicht alles. Wolfram Alpha liefert h = ((1/2 (877879296 π^4 + 27869184 π^5 + 221184 π^6))^(1/3) - 48 π^2)/(192 π^2) was aber dasselbe ist.

Answer 2

Hallo

 kannst du das Integral nicht lösen? im Ergebnis kommt doch a vor und a^2 ist dann die Höhe.

Gruss lul

Comments

In meinem Beitrag waren leider Fehler drin.

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Ja

Bin bei

M= 2π \int\limits_{0}^{a^2}\( \sqrt{y} \)\( \sqrt{1+\frac{1}{4y}} \)dy=10,5π

Sorry für die Darstellung. Kapier noch nicht wie ich in LaTex die Grenzen vom Integral richtig setze.

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Wie man das in Latex setzt ist auch erstmal egal denke ich. Sag lieber ob ihr das per Hand lösen sollt oder ob ein Rechner erlaubt ist. Und wenn ein Rechner, dann was für einer? Ein CAS?

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Leider ohne Rechner, von Hand