Aloha :)
Die Integrationsgrenzen sind gegeben durch:$$y\in\left[0\,\left|\;-\frac{1}{2}x+1\right.\right]\quad;\quad x\in[0\,|\,2]$$Dabei hängt \(y\) von \(x\) ab, d.h. wenn wir nach \(y\) integrieren, taucht in den Integrationsgrenzen \(x\) auf. Daher muss man zuerst nach \(y\) und dann nach \(x\) integrieren:
$$I=\int\limits_0^2dx\int\limits_0^{-\frac{1}{2}x+1}dy\,x^2y=\int\limits_0^2dx\, x^2\left[\frac{y^2}{2}\right]_0^{-\frac{1}{2}x+1}=\int\limits_0^2dx\,\frac{x^2}{2}\left(-\frac{1}{2}x+1\right)^2$$$$\phantom{I}=\int\limits_0^2dx\,\frac{x^2}{2}\left(\frac{x^2}{4}-x+1\right)=\frac{1}{2}\int\limits_0^2\left(\frac{x^4}{4}-x^3+x^2\right)=\frac{1}{2}\left[\frac{x^5}{20}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}\right]_0^2$$$$\phantom{I}=\frac{1}{2}\left(\frac{96}{60}-\frac{240}{60}+\frac{160}{60}\right)=\frac{2}{15}$$
Die Integrationsgrenzen kann man auch wie folgt ausdrücken:$$y\in[0\,|\,1]\quad;\quad x\in\left[0\,\left|\,2-2y\right.\right]$$Jetzt hängt \(x\) von \(y\) ab, sodass wir zuerst nach \(x\) und danach nach \(y\) integrieren müssen:
$$I=\int\limits_0^1dy\int\limits_0^{2-2y}dx\,x^2y=\int\limits_0^1dy\,y\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^{2-2y}=\int\limits_0^1dy\,\frac{y}{3}\left(2-2y\right)^3$$$$\phantom{I}=\int\limits_0^1dy\,\frac{y}{3}\left(-8y^3+24y^2-24y+8\right)=\frac{1}{3}\int\limits_0^1dy\left(-8y^4+24y^3-24y^2+8y\right)$$$$\phantom{I}=\frac{1}{3}\left[-\frac{8y^5}{5}+6y^4-8y^3+4y^2\right]_0^1=\frac{1}{3}\left(-\frac{8}{5}+2\right)=\frac{2}{15}$$
