Ableitung gebrochenrationale Funktion

Question

Hallo ich soll bei einer Kurvendiskussion die Ableitung von

f(x)=(x^4-12x^2)/(2x^4-16x^2+32)

Mit der Quotientenregel bilden.

Mein Ergebnis wär

f(x)'=(4x^5+32x^3-192x)/(x^8-16x^6+96x^4-256x^2+256)

Ist das Richtig? Wenn nein, kann mir bitte jemand den Fehler erklären mit Rechenweg?

Answer 1

Aloha :)

Du kannst den Bruch vor dem Ableiten vereinfachen:$$\left(\frac{x^4-12x^2}{2x^4-16x^2+32}\right)'=\left(\frac{x^4\overbrace{-8x^2-4x^2}^{=-12x^2}+\overbrace{16-16}^{=0}}{2x^4-16x^2+32}\right)'=\left(\frac{x^4-8x^2+16-4x^2-16}{2(x^4-8x^2+16)}\right)'$$$$=\left(\frac{x^4-8x^2+16}{2(x^4-8x^2+16)}-\frac{4x^2+16}{2(x^4-8x^2+16)}\right)'=\left(\frac{1}{2}-\frac{2x^2+8}{x^4-8x^2+16}\right)'$$$$=\left(\frac{1}{2}-\frac{2(x^2+4)}{(x^2-4)^2}\right)'$$Jetzt kommt die eigentliche Ableitung:$$=-2\left(\frac{x^2+4}{(x^2-4)^2}\right)'=-2\,\frac{2x\cdot(x^2-4)^2-(x^2+4)\cdot2(x^2-4)2x}{(x^2-4)^4}$$$$=-2\,\frac{2x(x^2-4)-(x^2+4)\cdot4x}{(x^2-4)^3}=-2\,\frac{2x\left[(x^2-4)-2(x^2+4)\right]}{(x^2-4)^3}=-2\,\frac{2x\left[-x^2-12\right]}{(x^2-4)^3}$$$$=\frac{4x(x^2+12)}{(x^2-4)^3}$$

Answer 2

Hallo,

nutze Online Rechner:

https://www.ableitungsrechner.net/

Ergebnis dort:

\( \frac{4 x\left(x^{2}+12\right)}{\left(x^{2}-4\right)^{3}} \)

Comments

Danke, allerdings hab ich das verstanden und kann den Rechenweg nicht nachvollziehen, deswegen hatte ich gehofft, dass mir hier geantwortet wird.

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Hallo,

Du mußt VORHER vereinfachen und dann ableiten.

Zähler: (x^4 -12 x^2) =x^2(x^2-12)

Nenner: 2 x^4-16x^2+32 =2( x^2 -4)^2

dann ableiten und Du kommst auf das angegebene Ergebnis

von mir.

Answer 3

Du hast richtig gerechnet, es aber unnötig kompliziert gemacht.

Wenn du den Nenner nicht ausmultiplizierst, kannst du kürzen.