Aufgabe:
Es sei \( V \) der Vektorraum der Folgen \( x=\left(x_{0}, x_{1}, \ldots\right) \) reeller Zahlen, von denen nur endlich viele nicht Null sind, und \( U \) der durch die Bedingung \( x_{0}=0 \) definierte Unterraum. Beweisen Sie folgende Aussagen:
(a) Für \( x \in U \) gilt $$ \left(\sum \limits_{i=1}^{\infty} \frac{x_{i}}{i(i+1)}\right)^{2} \leq \sum \limits_{i=1}^{\infty} x_{i}^{2} $$ wobei Gleichheit genau dann eintritt, wenn \( x=0 \) ist. Hinweis: Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung für die Folgen \( (1,1, \ldots) \) (die nicht zu \( V \) gehört) und \( x \) führt auf eine Teleskopsumme.
(b) Die durch $$ b(x, y)=\sum \limits_{i=0}^{\infty} x_{i} y_{i}+\sum \limits_{i=1}^{\infty} \frac{x_{0} y_{i}+x_{i} y_{0}}{i(i+1)} $$ gegebene quadratische Form \( b \) ist positiv definit.
Problem/Ansatz:
Ich versuche schon seit gestern diese Aufgabenteile zu lösen, doch komme ich bei beiden nicht weiter. Es ist auch ein Hinweis unter a) aufgeführt, welcher die Verwendung der Cauchy-Schwarzschen-Ungleichung bezüglich Folgen erwähnt und das ganze erste Problem vereinfachen soll, doch weiß ich nicht wie ich diese Ungleichung (wir haben diese nur bezüglich Bilinearformen im Script definiert; der Spezialfall über Reihen ist nicht aufgeführt, aber durch die Analysis bekannt) bei meiner zu zeigenden Ungleichung anwenden soll, um die Teleskopsumme zu sehen. Eine Ähnliche Problematik ist auch bei b) der Fall.
Hätte daher jemand einen Ansatz oder Tipp bezüglich der Anwendung bei a) und b) im allgemeinen?
