Beweise: tan(α)/sin(α) - tan(α) • sin(α) = cos(α)

Question

Aufgabe:

zur Vorbereitung auf unsere nächste Mathearbeit sollen wir zwei Formeln beweisen:

a.) tan(α)/sin(α) - tan(α) • sin(α) = cos(α)

b.) √tan^2 (α) +1 = 1/cos(α)           (alles bis zum Gleichheitszeichen steht in der Wurzel)

Problem/Ansatz:

Leider bin ich nicht die Beste in Mathe, ich weiss nicht wie ich diese Aufgaben anpacken muss. Der Rest geht, hier bin ich überfragt. Vielen Dank im voraus.

Comments

Drücke tan(..) als sin(..)/cos(..) aus.

Dann lässt sich leichter kürzen.

Answer 1

tan(α)/sin(α)-tan(α)*sin(α) = sin(α)/ (cos(α)*sin(α)) - sin(α)*sin(α)/ cos(α)

= 1/cos(α) - sin²(α)/cos(α) = (1-sin²(α))  /   cos(α)  = cos²(α) / cos(α) = cos(α)

Hier ist ein kleiner Fehler in der Aufgabe: Mit α=90° stimmt die Gleichung nicht.

Über der Gleichung muss stehen: Unter der Voraussetzung, dass α≠0°, ±90°, ±180°,±270°,... gilt:

b) Für  α≠±90°, ±270°, ±450°, ... gilt:

√ (tan² (α) +1 )  die Wurzel geht über alles!

=  √ (  sin²(α)/ (cos²(α) + cos²(α) /cos²(α)  )    Hauptnenner

= √ (  sin²(α) + cos²(α)  )   /   cos²(α)

= √ (  1 /  cos²(α) )

= 1 /  I cos(α) I    Betrag nicht vergessen! Die ursprüngliche Aufgabe b) wäre auch falsch z.B. für α = 180°. Da käme heraus: 1 = -1

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Damit kann ich etwas anfangen und frage mich warum ich (wirklich) nie selbst aus sowas komme.

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@Helmus: Danke für den Betrags-Hinweis.

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@Nina15 @ MontyPython: Die erste Aufgabe ist auch nicht sauber gestellt.

Answer 2

a) $$\frac{\tan(\alpha)}{\sin(\alpha)} -\tan(\alpha) \cdot \sin(\alpha)$$

$$=\frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\sin(\alpha)}-\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot \sin(\alpha)$$

$$=\frac{1}{\cos\alpha}-\frac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha}$$

$$=\frac{1-\sin^2\alpha}{\cos\alpha}$$

$$=\frac{\cos^2\alpha}{\cos\alpha}$$

$$ = \cos\alpha$$

b)

$$\sqrt{\tan^2\alpha +1} $$

$$ = \sqrt{\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} +\frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}}$$

$$ = \sqrt{\frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha} }$$

$$ = \sqrt{\frac{1}{\cos^2\alpha} }$$

$$ = \frac{1}{|\cos\alpha|} $$

Comments

Das verstehe ich sogar!

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Du musst dir mehr zutrauen. Das "sogar" kannst du weglassen.

Viel Glück bzw. Erfolg bei der Arbeit!