Eine Aufgabe zur Wohldefiniertheit

Question

Analysieren Sie, ob die Abbildung von Q→N, a/b→ a wohldefiniert ist und begründen Sie Ihre Antwort.

kann mir bei dieser Aufgabe jemand helfen wäre sehr nett. dieses Thema hab ich noch nicht so richtig verstanden.

Comments

1/1 |-> 1 und 1/1=2/2 |-> 2.

Ich habe Zweifel.

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hab ich leider nicht so genau verstanden :/

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Offenbar soll die Abbildung Q→N mit q=a/b↦a mit geeigneten a∈Z und b∈ℕ\{0} betrachtet werden. Das steht da so nicht, aber ich habe es mal so interpretiert. Da, wie wir ja wissen, die Darstellung q=a/b einer rationalen Zahl nicht eindeutig ist, ist die durch die angeführte Vorschrift festgelegte Relation nicht linkseindeutig, kann also keine (wohldefinierte) Abbildung sein. Das sollte das Beispiel zeigen.

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Achso okay, Dankeschön für deine Antwort

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Entschuldige bitte, ich habe die Aufgabe nicht richtig gelesen, es muss natürlich a∈N und b∈Z\{0} heißen, denn sonst wäre die Abbildung noch weniger wohldefiniert.

Welche Kriterien für Wohldefiniertheit bei Abbildungen habt ihr denn formuliert?

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Statt "linkseindeutig" muss es im obigen Kommentar natürlich "rechtseindeutig" heißen.

Answer 1

Immer wenn die Wohldefiniertheit zu begründen ist, muss man sich fragen, was bei der Definition des gewünschten Objekts schief gehen könnte.
Wir haben die Vorschrift  f: Q→N, a/b→ a. 
wobei es angenommen wurde, dass jedes \(q \in \mathbb{Q} \) sich als \(q=a/b\) darstellen lässt.
Dies ist aber nicht eindeitig, denn es ist genauso \( q= ra/rb\) für \(r \in \mathbb{Z} \). Das ist genau der Grund warum die Wohldefiniertheit in Frage kommt. Es ist somit zu begründen, dass \( f(q)=f(a/b)=f(ra/rb) \). Wie @Gast az0815 gezeigt hat, bekommen wir unterschiedliche Werte für  \( q= 1/1=2/2 \). Daher ist f keine Funktion.

Dies ist auch nicht der einzige Grund, warum f keine Funktion ist:  \( f(q)= f(-1/1)=-1 \notin \mathbb{N}\)