Kern einer Matrix mit sechs Variablen bestimmen

Question

Aufgabe: Bestimmen sie die Menge Ker(A). Ist (2, -1, 3) ein Element von IM(A)?

Koeffizientenmatrix: Ax -> b (b=0|0|0 am Ende)                                 

-1	0	5	0	-2	0	| 0
0	1	0	0	2	-2	| 0
0	0	0	1	0	-1	| 0

Davon soll ich nun die Menge Ker(A) bestimmen.

Problem/Ansatz: Ich weiß wie man den Kern von 3 Gleichungen und 3 Variablen bestimmt. Aber ich komme mit diesen ganzen Variabeln nicht klar und frage mich was ich mit den 6 Variabeln machen soll? …

Answer 1

Du kannst ja mal erst x6=s frei wählen und

hast dann x4 - x6=0 ==>   x4 = s

Dann x5 = t und x3= u wählen und hast

x2 +2x5 - 2x6 = 0 ==>   x2 = -2t + 2s

dann die erste Gleichung

-x1 +5u  - 2t = 0 ==>    x1 = 5u - 2t also

alle Lösungen von der Form

( 5u - 2t  ,  -2t + 2s  , u  ,  s   ,  t  ,  s  )

= s*( 0 , 2 , 0 , 1 , 0 , 1 ) + t*(-2, -2, 0,0,1,0)+u*(5,0,1,0,0,0)

Also Basis des Kerns ( 0 , 2 , 0 , 1 , 0 , 1 ) ,(-2, -2, 0,0,1,0) , (5,0,1,0,0,0)

Ist (2, -1, 3) ein Element von IM(A)?

Setze  (2, -1, 3) als letzte Spalte der Matrix ein und rechne aus.

Comments

Vielen Dank!!! Aber wie kommst du auf den Schritt s*(0,2,0,1,0,1) + t*(-2,-2,0,0,1,0)...??

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Rechne einfach zurück, also s,t u in den Vektor hineinmultiplizieren

und dann die drei addieren.