Berechne Dimension des Teilraumes

Question

Aufgabe:

Für die Teilräume \( U=[(1,0,1,2),(1,1,2,4),(2,1,3,6)] \) und \( W=[(-1,2,1,2),(1,-1,1,1)] \) von \( \mathbb{R}^{4} \) berechne \( \operatorname{dim}(U \cap W) \) und \( \operatorname{dim}(U+W) \)

Problem/Ansatz:

Wir haben die Formel für dim(U+W) = dim(U) + dim(W) - dim(U∩W)

Ich glaube, dass die dim(U) = 3 und die dim(W) = 2 ist weil ich kann sehen dass 3 bzw. 2 Vektoren innerhalb der eckigen Klammer gibt, aber wie kann ich das mathematisch korrekt wissen? Und was genau bedeuten diese eckige Klammer?

Und bei dim(U∩W) hab ich keine Ahnung wie man das zeigen kann.

Comments

https://www.youtube.com/watch?v=7-6SzB5w3Wc

Kontrollergebnisse: \( \dim U = 2, \dim V = 2, \dim U+V = 3 \), also \( \dim U \cap V = 1 \).

Die eckigen Klammern sind die lineare Hülle. Es gilt $$ U + V = \left[ (1,0,1,2),(1,1,2,4),(2,1,3,6), (-1,2,1,2),(1,-1,1,1) \right] $$ also gerade alle 5 Vektoren zusammengefasst.

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danke dir vielmals, ich hab auch diese Ergebnisse bekommen, sehr hilfreich. Meine einzige Zweifel ist ob ich diese Vektoren als Zeilen oder als Spalten in die Matrix schreiben soll, ich glaube für die Dimension ist es egal, da ich die gleiche Ergebnisse bekommen habe aber bei Basis wäre das wichtiger. Und auch nur noch eine Verständnisfrage. Ist die lineare Hülle gleichbedeutend mit eine Matrix? Also was gibt uns "das Recht" diese Vektoren in U+V z.B als Matrix zu schrieben?

Und nachdem wir diese Matrix in Zeilenstufenform gebracht haben, wäre die Rang der Matrix gleich der Dimension, und ist diese Rang nach Definition nur der Anzahl der Zeilen ungleich 0? Wie wissen wir von die ZSF der Matrix dass die bleibende Vektoren auch linear unabhängig sind?

Ich weiss dass diese vielleicht viele Fragen sind, aber ich beschäftige mich so lange mit diese Übungen und wegen dieUnklarheiten mit diese Fragen hab ich viele Schwierigkeiten.

Danke dir trotzdem

Answer 1

ich glaube dass die dim(U) = 3

Deine Vermutung ist korrekt, wenn die Vektoren linear unabhängig sind.

Und was genau bedeuten diese eckige Klammer?

U ist der Durchschnitt aller Unterräume von ℝ⁴ , die die Vektoren (1,0,1,2), (1,1,2,4) und (2,1,3,6) enthalten.

U ist die Menge aller Vektoren aus ℝ⁴, die sich als Linearkombination der Vektoren (1,0,1,2), (1,1,2,4) und (2,1,3,6) darstellen lassen.

Beide Definitionen sind gleichwertig.

und bei dim(U∩W) hab ich keine Ahnung wie man das zeigen kann.

Löse die Gleichung

\( r \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\1\\2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1\\1\\2\\4 \end{pmatrix}  + t \cdot \begin{pmatrix} 2\\1\\3\\6 \end{pmatrix} = u \cdot \begin{pmatrix} -1\\2\\1\\2 \end{pmatrix} + v \cdot \begin{pmatrix} 1\\-1\\1\\1 \end{pmatrix} \).

Setze die Lösung in

\( u \cdot \begin{pmatrix} -1\\2\\1\\2 \end{pmatrix} + v \cdot \begin{pmatrix} 1\\-1\\1\\1 \end{pmatrix} \)

ein.

Comments

Danke dir vielmals, ich hätte nur noch zwei kleine Fragen

Löse die Gleichung

bei diese Teil, woher kommt diese Schreibweise mit r,s,t. Ist das die Darstellung der Linearkombination in U?
Und zweitens, ich verstehe nicht was genau das Unterschied ist wenn ich diese Matrizen als Zeilen bzw. als Spalten schreibe.

Z.B bei die Dimension von U. Ich hab beide Methoden probiert und habe die gleiche Dim(U)=2 erhalten nach ich die in Zeilenstufenform gebracht habe. Aber nehmen wir an dass ich auch die Basis von U finden möchte, welche wären die richtige Vektoren, die die kommen wenn ich die Vektoren von U als Spalte in eine Matrix schreibe oder die die kommen wenn ich die Vektoren als Zeilen schreibe?

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Ist das die Darstellung der Linearkombination in U?

Das ist die Darstellung der Vektoren aus U als Linearkombination von (1,0,1,2), (1,1,2,4) und (2,1,3,6).

was genau das Unterschied ist wenn ich diese Matrizen als Zeilen bzw. als Spalten schreibe.

Matrizen werden weder als Spalten, noch als Zeilen geschrieben, sondern als Rechtecke, zum Beispiel ist \( \begin{pmatrix} 5&3&-8\\2&-7&4 \end{pmatrix} \) eine Matrix aus ℝ^2×3.

Vektoren werden üblicherweise als Spalten geschrieben. Dann kann man sie als Matrizen aus ℝ^n×1 auffassen, Zeilenvektoren entsprechen eher Matrizen aus ℝ^1×n. Dann erspart man sich eine gesonderte Definition der Matrix-Vektor-Multiplikation und kann stattdessen die Matrix-Matrix-Multiplikation mit der Signatur ℝ^p×q × ℝ^q×r→ℝ^p×r verwenden.

welche wären die richtige Vektoren

Das ist unabhängig davon ob du die Vektoren als Zeilen oder Spalten schreibst.