Schattenwurf analytische Geometrie

Question

Aufgabe:

Der abgebildete Würfel hat die Seitenlänge a = 6m. Der senkrechte Stab hat den Fußpunkt Q(8I14I0) und ist 10m hoch.

Licht aus Richtung des Vektors \( \vec{v} \) wirft einen Schatten des Stabes auf den Würfel und den Boden. Bestimmen Sie die Punkte P´ und P´´und berechnen Sie die Gesamtlänge des Schattens.

Meine Idee für P´ wäre, die Gerade durch P mit Richtungsvektor  \( \vec{v} \) mit der Ebene gleichzusetzen, die die rechte Seite des Würfels darstellt. Für P´´hatte ich erst überlegt den Schnittpunkt der Gerade mit der XY-Ebene zu ermitteln aber dann lande ich doch irgendwo im Würfel? Zur Länge des Schattens würde ich dann I\( \vec{QP´´} \)I + I\( \vec{P´´P´} \)I rechnen, aber dafür brauche ich ja erstmal die Punkte :D

Answer 1

Hm,

Gib mal die Koordinaten an.

Ich würde aus P,Q v eine Ebene machen und mit der Würfelebene y=6 schneiden, für P'' ist zusätzlich auch z=0....

P' brauchen wir ja auch, Die Gerade ist ok, dann die y-Koordinate = 6 setzen

Comments

Welche Koordinaten meinst du?

ich glaube nicht, dass es auf den Schnitt zweier Ebenen hinausläuft, da das nicht behandelt wurde.

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Ich kann zu P,Q nur Vermutungen anstellen

Die Ebene

E(r,s):=Q+ r v + s (0,0,1)

E(r, s):=(qx+rx+sx, qy+ry+sy, qz+rz + sz)

daraus

{qz+rz + zs = 0, qy+ry+sy = 6}

Du kannst natürlich auch vz=0 setzen und auf der Ebene dann mit (-1,-1,0) arbeiten

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Die Koordinaten von P und Q habe ich doch angegeben.

Der senkrechte Stab hat den Fußpunkt Q(8I14I0) und ist 10m hoch.

=> P(8I14I10)

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Ach, hab ich überlesen, dann geht es sich aber nicht aus ...

Der Schatten erreicht den Würfel nicht!

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d.h. es gibt diese Punkte P´ und P´´ aus meiner Abbildung gar nicht?

Dann ist vielleicht die Aufgabenstellung im Buch falsch?

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Sieht so aus...

Für Q(8,10,0) erhalte ich in etwa das Bild und mit v=(-1,-2,-2) kommt man auch so in etwa hin bei gegebenem Q..

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Okay, vielen Dank für die Mühe.

Wenn man mal davon ausgeht, dass die Aufgabenstellung richtig wäre, gibt es dann einen anderen weg, als die Ebenen gleichzusetzen, um P´´ zu ermitteln?

Könnte ich, wenn ich P´ bestimmt habe nicht einfach die z-Koordinate von P´ gleich Null setzen und hätte dann P´´? Also wenn P´(xIyIz) dann ist P´´(xIyI0)?

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Du meinst: Du bestimmst P'

P': Gerade g(t)=P+ t v schneidet Ebene W:y=6

P'': Gerade h(t)=P'+ t (0,0,1) schneidet Ebene G:z=0

(setzte P'z=0) auch gut...

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Mit Q(8I10I0) und damit P(8I10I10) und \( \vec{v} \) = \( \begin{pmatrix} -1\\-1\\-2 \end{pmatrix} \) (also wie in der Aufgabe gegeben) scheint es zu passen.

Ich komme dann durch Gleichsetzen der Gerade g: x = P + r * v und Ebene E: y = 6 auf P´(4I6I2) (was auch in der Abbildung mit P´ übereinstimmen sollte) und damit P´´(4I6I0).

Für die Gesamtlänge habe ich dann

I \( \vec{QP´´} \)I + I \( \vec{P´´P} \) I = \( \sqrt{32} \) + \( \sqrt{2} \) ≈ 7.07

kurze Kontrolle wäre sehr nett :)

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meine am Ende natürlich \( \sqrt{32} \) + \( \sqrt{4} \) ≈ 7.66

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Kommt hin...

Gemessen an P''':=P + 5 (-1,-1,-2)