Für jedes rechtwinklige Dreieck mit den Kathetenlängen a und b sowie der Hypotenusenlänge c gilt a2+b2=c2. Sind a, b und c natürliche Zahlen, so heißt (a,b,c) ein Pythagoreisches Tripel.
Zwei Beispiele für Pythagoreische Tripel, die in diesem Zusammenhang von Interesse sind, heißen (40, 42, 58) und (24, 70, 74). Weil 40·42 = 24·70 gilt, sind hier die Seitenlängen zweier rechtwinkliger Dreiecke mit ganzzahligen Seitenlängen gefunden, die den gleichen Flächeninhalt haben.
Gibt es weitere solche Paare rechtwinkliger Dreiecke? Und – wenn ja – wie findet man diese?
Euklid hat im Band X seiner Elemente gezeigt, wie man überhaupt Pythagoreische Tripel erzeugen kann:
Man nehme zwei natürliche Zahlen m und n mit n>m und bilde das Tripel (n2-m2, 2mn, m2+n2). Die frei gewählten Zahlen m und n sollen die „Erzeugenden“ eines Pythagoreischen Tripels genannt werden.
Welche Erzeugenden haben jeweils die Tripel (40, 42, 58) und (24, 70, 74) erzeugt?
Zur Beantwortung dieser Frage berechnet man: (a+c)/b = 2m2/(2mn) = m/n. Beide Tripel haben eine Erzeugende 7. Das führt uns zu der Hypothese:
„Pythagoreische Tripel zu flächengleichen Dreiecken müssen in einer Erzeugenden übereinstimmen.“
Diese Hypothese soll hier nicht bewiesen werden. Stattdessen soll der Frage nachgegangen werden:
„Welche Zusammenhänge bestehen zwischen Paaren von Erzeugenden (n, m) und (n,k), wenn sie zu flächengleichen rechtwinkligen Dreiecken führen?“
Eine erste Antwort liefert die Gleichung (n2-m2)·mn=(n2-k2)·nk, die in
(1) n2=m2+mk+k2
umgeformt werden kann.
Jetzt geht es darum, ein Tripel (m, n, k) zu finden, dass diese Gleichung erfüllt. Dazu dividieren wir Gleichung (1) durch n2 und erhalten mit \( \frac{m}{n} = x \) und \( \frac{k}{n} = y\):
(2) 1=x2+xy+y2
Diese Ellipse schneiden wir mit der Geradenschaar
(3) y=\( \frac{r}{s} \) x+\( \frac{r}{s} \)
für natürliche Zahlen r und s.
Die Schnittpunkte sind \( A(-1|0) \) und \( B( \frac{s^2-r^2}{r^2+rs+s^2} | \frac{r^2+2rs}{r^2+rs+s^2} ) \). Wegen \( \frac{m}{n} =x \) und \( \frac{k}{n} =y \) folgt:
m=s2-r2 n=r2+rs+s2 k=r2+2rs
Damit können aus zwei natürlichen Zahlen r und s die Erzeugenden m und n zweier Pythagoreischer Tripel gewonnen werden, aus denen wiederum flächengleiche rechtwinklige Dreiecke mit ganzzahligen Seitenlängen erzeugt werden.
Beispielsweise werden für r=1 und s=2 die Erzeugenden n=7, m=3 und k=5 gewonnen, wobei (n,m)=(7,3) das Tripel (40,42,58) und (n,k)=(7,5) das Tripel (24,70,74) erzeugt. Das sind die eingangs erwähnten Tripel flächengleicher rechtwinkliger Dreiecke und folglich (bei gegebener Längeneinheit) die kleinsten ihrer Art.
