Grenzwertbestimmung L‘Hospital mit Konstanten: Am Ende 0/0

Question

Hallo Community,

Das letzte mal in diesem Semester ( hoffe ich ) habe ich wieder ein Problem undzwar bei der folgenden Aufgabe:

Aufgabe:

(a) Die Funktionen \( f \) und \( g \) seien in einer Umgebung des Punktes \( x_{0} \in \mathbb{R} n+1 \) -mal stetig differenzierbar. Ferner gelte \( f^{(k)}\left(x_{0}\right)=g^{(k)}\left(x_{0}\right)=0 \) für \( 0 \leq k \leq n \) sowie \( g^{(n+1)}\left(x_{0}\right) \neq 0 . \) Zeigen Sie:
$$ \lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f^{(n+1)}\left(x_{0}\right)}{g^{(n+1)}\left(x_{0}\right)} $$
(b) Mit Hilfe von (a) bestimme man für \( \alpha, \beta \in \mathbb{R} \) mit \( \alpha \neq \beta \) den Grenzwert
$$ \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{\alpha}{1-x^{\alpha}}-\frac{\beta}{1-x^{\beta}} $$

Problem/Ansatz:

a) konnte ich super beweisen ich hänge leider bei b) fest. Ich sehe nicht warum ich a brauchen sollte und zweitens egal wie oft ich die ableitungen nehme es kommt am ende immer 0/0 raus ( wenn man explicit den Fall alpha oder beta gleich 0 betrachtet ).

Comments

Für Alpha oder beta gleich 0 sind doch die Terme

gar nicht definiert ( 0 im Nenner ) .

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Genau das hatte ich auch war da am Verzweifeln weil ich dachte dass ich einen Fehler gemacht habe. Vielen Dank :)

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Könntest du deine a) zeigen. Habe dort leider schon meine Probleme 

Answer 1

Hallo,

zu b)

α und β sind Konstanten.

Du hast den Ausdruck ∞ -∞

Bilde den Hauptnenner und wende 2 Mal L'Hospital an.

Du kommst dann auf  (α -β)/2

Comments

Text erkannt:

\( \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{\alpha}{1-x^{2}}-\frac{\beta}{1-x^{3}} \quad \quad \lim \limits_{x \rightarrow 1}-1 \)
\( =\lim \limits_{x \rightarrow 1} \alpha\left(1-x^{\beta}\right)-\beta\left(1-x^{\alpha}\right)=\lim \limits_{x \rightarrow 1}(-1) \)
\( =\lim \limits_{x \rightarrow 1} a-\alpha x^{\beta}-\beta-\beta x^{\alpha}=-\alpha \)
\( =\lim \limits_{x \rightarrow 1}-\alpha \beta x^{\beta-2}+\alpha \beta x^{\alpha-2}=0 \)

 

Text erkannt:

\( \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{\alpha}{1-x^{2}}-\frac{\beta}{1-x^{3}} \quad \quad \lim \limits_{x \rightarrow 1}-1 \)
\( =\lim \limits_{x \rightarrow 1} \alpha\left(1-x^{\beta}\right)-\beta\left(1-x^{\alpha}\right)=\lim \limits_{x \rightarrow 1}(-1) \)
\( =\lim \limits_{x \rightarrow 1} a-\alpha x^{\beta}-\beta-\beta x^{\alpha}=-\alpha \)
\( =\lim \limits_{x \rightarrow 1}-\alpha \beta x^{\beta-2}+\alpha \beta x^{\alpha-2}=0 \)

 Ich komme leider wieder auf 0 wo liegt mein Fehler in der Rechnung?

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Du mußt zuerst den Hauptnenner bilden

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Text erkannt:

53
\( \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{\alpha}{1-x^{\alpha}}-\frac{\beta}{1-x^{\beta}} \)
\( =\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{\alpha\left(1-x^{\beta}\right)-\beta\left(1-x^{\alpha}\right)}{\left(1-x^{\alpha}\right) \cdot\left(1-x^{\beta}\right)} \)

 Der Hauptnenner müsste jetzt stimmen oder?

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Text erkannt:

\( \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{\alpha}{1-x^{\alpha}}-\frac{\beta}{1-x^{\beta}} \)
\( =\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{\alpha\left(1-x^{\beta}\right)-\beta\left(1-x^{\alpha}\right)}{\left(1-x^{\beta}\right)\left(1-x^{\alpha}\right)} \)
\( =\lim \limits_{x \rightarrow 1} \alpha-\beta \)

 Am ende habe ich dann a - b raus. Wie bekomme ich /2?

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JA , das stimmt.

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Du hattest am Ende ja (a-b)/2 raus. Stimmt das von dir oder stimmt a-b was ich rausbekommen habe? Oder meinst du dass der Hauptnenner bei mir jetzt stimmt? ^^

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Dieses Ergebnis stimmt:

\( \lim \limits_{x \rightarrow 1}\left(\frac{a}{1-x^{α}}-\frac{b}{1-x^{β}}\right)=\frac{α-β}{2} \)

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Danke für den Tipp nochmal habe das gelöst kam nur auf b-a/2 aber müsste stimmen denke ich weil ich nicht auf a-b/2 komme ich versuchs aber weiterhin. Frage wird geschlossen