Exponentielles Wachstum:
(1) f(x) = a · cx.
Dabei ist
- a der Anfangsbestand
- c der Wachstumsfaktor
- x die Zeit
- f(x) der Bestand zum Zeitpunkt x.
Das solltest du auf jeden Fall verinnerlichen. Es ist die Grundlage für jede Beschäftigung mit exponentiellem Wachstum.
Wie lautet die Halbwertszeit?
Es ist ein bestimmter Wert für x gesucht. Bevor man (1) dazu verwenden kann, muss man zunächst a und c kennen.
Nach 24h
(2) x = 24.
noch 1/8 des Anfangswerts.
Anfangswert ist unbekannt. Deshalb bleibt er vorerst a.
1/8 von a ist 1/8·a, also
(3) f(x) = 1/8·a.
Einsetzen von (2) und (3) in (1) liefert
(4) 1/8·a = a·c24.
Umstellen von (4) nach c liefert
(5) c = 24√(1/8).
Das a in (4) fällt durch Division weg. Einsetzen von (5) in (1) liefert
(6) f(x) = a · (24√(1/8))x.
a ist immer noch unbekannt. Das schadet aber nicht, wie sich herausstellen wird.
Wie lautet die Halbwertszeit?
Das ist die Zeit, nach der die Konzentration nur noch halb so groß ist wie am Anfang. Also
(7) f(x) = 1/2·a.
Einsetzen von (7) in (6) liefert
(8) 1/2·a = a·(24√(1/8))x.
Löse Gleichung (8) nach x auf. Das ist die Halbwertszeit in Stunden.
[Kontrollergebnis: x=8]
