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Aufgabe:

Ich habe die Basis meines Bildes einer Matrize berechnet. Sie lautet [2 0 2]^T und [2 1 3]^T

Ist jetzt der Skalar auch eine Basis? Also [1 0 1]^T und [2 1 3]^T?

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Willst du fragen, ob du deine Basisvektoren durch einen Skalar teilen darfst und dann wieder eine Basis desselben Raums rauskommt?

Das würde stimmen.

Also die Folgerung

 [2 0 2]T und [2 1 3]T
 ist Basis von V ==> [ 1 0 1]T und [2 1 3]T ist Basis von V. 

ist ok.

Der Skalar wäre die Zahl 2 und der kann keine Basis sein.

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Antwort mit KI erzeugt

Aufgabe:

<p>Ich habe die Basis meines Bildes einer Matrize berechnet. Sie lautet \(\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\)<br></p>
<p>Ist jetzt der Skalar auch eine Basis? Also \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\)?</p>

Antwort:

Um zu überprüfen, ob \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\) auch eine Basis bilden, müssen wir überprüfen, ob diese beiden Vektoren linear unabhängig sind und den Raum aufspannen, den \(\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\) aufspannen.

1. Lineare Unabhängigkeit prüfen:

Die beiden Vektoren sind linear unabhängig, wenn die Gleichung

\( c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \)

nur die triviale Lösung \(c_1 = 0\) und \(c_2 = 0\) hat. Prüfen wir das:

\( c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_1 + 2c_2 \\ c_2 \\ c_1 + 3c_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \)

Dies ergibt das lineare Gleichungssystem:

\( \begin{cases} c_1 + 2c_2 = 0 \\ c_2 = 0 \\ c_1 + 3c_2 = 0 \end{cases} \)

Aus der zweiten Gleichung \(c_2 = 0\), folgt aus der ersten und der dritten Gleichung, dass \(c_1 = 0\).

Da \(c_1 = 0\) und \(c_2 = 0\) die einzige Lösung ist, sind die Vektoren \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\) linear unabhängig.

2. Aufspannender Raum:

Nun müssen wir überprüfen, ob die Vektoren \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\) denselben Raum aufspannen wie \(\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\).

Da \(\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\), ist offensichtlich, dass \(\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\) im Raum von \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\) liegt.

Somit spannen \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\) auch den gesamten Raum auf, den \(\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\) aufspannen.

Ergebnis:

Ja, die Vektoren \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\) bilden eine Basis des Bildes der Matrix, da sie linear unabhängig sind und denselben Raum aufspannen wie \(\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\).
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