Antwort mit KI erzeugt
Aufgabe:
<p>Ich habe die Basis meines Bildes einer Matrize berechnet. Sie lautet \(\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\)<br></p>
<p>Ist jetzt der Skalar auch eine Basis? Also \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\)?</p>
Antwort:
Um zu überprüfen, ob \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\) auch eine Basis bilden, müssen wir überprüfen, ob diese beiden Vektoren linear unabhängig sind und den Raum aufspannen, den \(\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\) aufspannen.
1. Lineare Unabhängigkeit prüfen:
Die beiden Vektoren sind linear unabhängig, wenn die Gleichung
\( c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \)
nur die triviale Lösung \(c_1 = 0\) und \(c_2 = 0\) hat. Prüfen wir das:
\( c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_1 + 2c_2 \\ c_2 \\ c_1 + 3c_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \)
Dies ergibt das lineare Gleichungssystem:
\(
\begin{cases}
c_1 + 2c_2 = 0 \\
c_2 = 0 \\
c_1 + 3c_2 = 0
\end{cases}
\)
Aus der zweiten Gleichung \(c_2 = 0\), folgt aus der ersten und der dritten Gleichung, dass \(c_1 = 0\).
Da \(c_1 = 0\) und \(c_2 = 0\) die einzige Lösung ist, sind die Vektoren \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\) linear unabhängig.
2. Aufspannender Raum:
Nun müssen wir überprüfen, ob die Vektoren \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\) denselben Raum aufspannen wie \(\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\).
Da \(\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\), ist offensichtlich, dass \(\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\) im Raum von \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\) liegt.
Somit spannen \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\) auch den gesamten Raum auf, den \(\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\) aufspannen.
Ergebnis:
Ja, die Vektoren \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\) bilden eine Basis des Bildes der Matrix, da sie linear unabhängig sind und denselben Raum aufspannen wie \(\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\).
