Basis des Bildes von f(x₁,x₂,x₃,x₄) = (5x₁-x₂,x₁+x₂,x₃,x₄,x₁) berechnen

Question

Die Aufgabe lautet: Bestimme eine Basis des Bildes folgender linearer Abbildung von ℝ^4 nach ℝ^5:

f(x₁,x₂,x₃,x₄) = (5x₁-x₂,x₁+x₂,x₃,x₄,x₁)

Ich habe mir dann die kanonischen Basis Vektoren aus ℝ^4 genommen und dann die Vektoren:

(5,1,0,0,1), (-1,1,0,0,0), (0,0,0,1,0) erhalten. Das ist doch dann das Bild oder?

Wenn ich jetzt zeige, dass sie linear unabhängig sind, habe ich dann meine Basis des Bildes schon gefunden?

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

R^4 hat aber doch eine Basis mit 4 Elementen.

Du bekommst also 4 Bilder, nämlich

(5,1,0,0,1), (-1,1,0,0,0),(0,0,1,0,0),(0,0,0,1,0) 

und diese sind in der Tat linear unabhängig,

bilden also eine Basis des Bildes.

Comments

Super Dankeschön!

Answer 2

Aloha :)

Ja, die Spalten in der Abbildungsmatrix sind die Bilder der Basisvektoren. Aber du hast einen vergessen:

$$f(\vec x)=\begin{pmatrix}5x_1-x_2\\x_1+x_2\\x_3\\x_4\\x_1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5x_1\\x_1\\0\\0\\x_1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-x_2\\x_2\\0\\0\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\0\\x_3\\0\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\0\\0\\x_4\\0\end{pmatrix}$$$$\phantom{f(\vec x)}=x_1\begin{pmatrix}5\\1\\0\\0\\1\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}-1\\1\\0\\0\\0\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\\0\end{pmatrix}+x_4\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\\0\end{pmatrix}$$Die Abbildungsmatrix von \(f\) lautet daher:$$M(f)=\left(\begin{array}{r}5 & -1 & 0 & 0\\1 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\\1 & 0 & 0 &0\end{array}\right)$$

Die Spaltenvektoren spannen den Bildraum auf. Du musst noch eventuell vorhandene lineare Abhängigkeiten der Spaltenvektoren untereinander herausrechnen. Dazu kannst du die Abbildungsmatrix durch elementare Spaltenumformungen auf Dreieckform bringen. Dabei entstehen eventuell Nullspalten. Übrig bleiben die linear unabhängigen Basisvektoren.$$\left(\begin{array}{r}&+0,2S_1\\\hline5 & -1 & 0 & 0\\1 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\\1 & 0 & 0 &0\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{r}&\cdot5\\\hline5 & 0 & 0 & 0\\1 & 1,2 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\\1 & 0,2 & 0 &0\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{r}&\\\hline5 & 0 & 0 & 0\\1 & 6 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\\1 & 1 & 0 &0\end{array}\right)$$Wir haben die Stufenform erreicht ohne Nullspalten zu erhalten. Die 4 Spaltenvektoren sind daher linear unabhängig und daher eine Basis des Bildes. Da die Basis nicht eindeutig ist, kannst du die 4 Spaltenvektoren der Abbildungsmatrix als Basis angeben oder die 4 Spaltenvektoren der Stufenform.

Comments

Hallo, danke erstmal! Müsste ich auch noch sagen dass es ein erzeugenden System Ist bzw. warum das so ist? Und Ist Im f dann gleich diesen Vektoren und gleichzeitig seine eigene Basis?

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Die Spaltenvektoren der Abbildungsmatrix sind immer ein Erzeugendensystem des Bildes. Es kann aber sein, dass diese Spaltenvektoren linear abhängig sind, dann ist das Erzeugendensystem noch keine Basis. Du musst dann so lange erzeugende Vektoren entfernen, bis die verbliebenen linear unabhängig voneiander sind.

Hier in der Aufgabe konnten wir zeigen, dass die Spaltenvektoren alle linear unabhängig sind, also mussten wir keinen entfernen. Die Spaltenvektoren der Abbildungsmatrix sind daher eine mögliche Basis des Bildes. Eine andere mögliche Basis des Bildes wären die Spaltenvektoren aus der Stufenform-Matrix.