Modulare Arithmetik: Untersuchen sie welchen Rest die Zahl 20172017 +20182018 bei der Division durch 3 lässt.

Question

Hallo :) brauche Hilfe bei der oben genannten Aufgabe.

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Eine Rechnung mod 3 liefert wegen 3|201 bereits im Kopf $$ 2017^{2017}+2018^{2018} \equiv 7^{2017}+8^{2018} \equiv\dots $$

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Weiter geht es mit $$\dots\equiv 1^{2017}+\left(-1\right)^{2018}=1+1=2$$Dies ist insgesamt höchstens eine Zeile Schreibaufwand und die eigentliche Rechnung kann ohne weitere Überlegungen im Kopf durchgeführt werden.

Answer 1

2017 hat mod 3 den Rest 1, also hat

2017²⁰¹⁷ den Rest 1²⁰¹⁷ = 1.

2018 hat mod 3 den Rest 2 , also hat 2018² den Rest 1.

==>  Alle Potenzen von 2018 mit geradem Exponenten haben mod 3

den Rest 1 und somit auch 2018²⁰¹⁸.

==> modulo 3 gilt

          2017²⁰¹⁷+2018²⁰¹⁸  ≡  1 + 1  ≡  2