Differenzierbarkeit Funktion

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie wo die folgende Funktionen differenzierbar sind

(b) \( x \in \mathbb{R} \mapsto \ln (1+|x|) \)

(c) \( x \in \mathbb{R} \mapsto x^{+} \sin x \)

Problem/Ansatz:

Ich würde sagen, dass die in ganz R differenzierbar sind, aber weiss es nicht.

Comments

Neue Ansatz:

ich glaube b) wäre differenzierbar überall außer im Punkt 0.

bei c weiss ich nicht weil es verwirrt mich auch diese x hoch +.

Answer 1

außer b) an der Stelle x=0 ist doch alles

aufgrund der einschlägigen Sätze überall differenzierbar.

b) an der Stelle 0 sicher nicht, wie ein Blick auf den Graphen zeigt

~plot~ ln(1+abs(x)) ~plot~

Und das kann man auch rechnerisch nachvollziehen:

Betrachte ln(1+|0+h|) - ln(1+0) /  h    für  h gegen 0

ln(1+|0+h|) - ln(1+0) /  h

= ln(1+|h|)  /  h

Für h>0 ist das  ln(1+h)  /  h

Das ist für h gegen 0 ein Grenzwert vom Typ 0/0 mit

Hospital bekommst du   1/(1+h)  / 1 und für h gegen 0

geht das gegen 1.

Für h<0  ist das  ln(1-h)  /  h 
Das ist für h gegen 0 auch ein Grenzwert vom Typ 0/0

mit Hospital bekommst du hier   -1/(1-h)  / 1 und für h gegen 0geht das gegen -1.

Also existiert allgemein der Grenzwert für h gegen 0 nicht

==>  Fkt. bei x=0 nicht diffb.