Normalverteilung Abfüllmenge Dosen

Question

Treffen Sie die Annahme, dass die Abfüllmenge von Ananasdosen normalverteilt sei mit einem Erwartungswert von μ=785g und einer Varianz von 225g^2.
 Der Hersteller möchte nun die Qualität seiner Abfüllanlage prüfen, um so für die angegebene Abfüllmenge garantieren zu können.
Markieren Sie die richtigen Aussagen. (Hinweis: Berechnen Sie für jede Antwort jeweils die gesuchte Größe und vergleichen Sie diese nach Rundung mit dem angegebenen Wert.)


a. Der Anteil der Ananasdosen, die weniger als 795.35 enthalten, beträgt: 70.2%

b. 60% der Ananasdosen enthalten weniger als: 788.8g.

c. Der Hersteller möchte garantieren, dass die enthaltene Abfüllmenge zwischen 767.38g und 802.62g liegt. Dies trifft nicht zu mit einer Wahrscheinlichkeit von: 25%

d. Wenn der Hersteller jedoch ein Intervall angeben möchte, das mit einer Wahrscheinlichkeit von 4% die angegebene Abfüllmenge nicht enthält, so lautet das neue Intervall: [753.19; 816.81]

e. Der Hersteller möchte weiterhin das Intervall [767.38; 802.62] verwenden (siehe c.). Jedoch soll dafür die Wahrscheinlichkeit, dass die angebene Abfüllmenge nicht enthalten ist, auf 4% gesenkt werden (siehe d.). Somit müsste der Hersteller die Varianz senken auf: 68.46g^2

Problem/Ansatz:

Bei a. Komm ich auf 75,5% aber bei den anderen komm ich leider überhaupt nicht weiter, könnte mir bitte jem weiterhelfen?:)

Answer 1

Ich berechne hier nur mal die Wahrscheinlichkeiten das der Wert in einem bestimmten Berech liegt. Es sollte klar sein das die Wahrscheinlichkeit, das das Wert nicht in dem Bereich liegt dann die Gegenwahrscheinlichkeit ist. Dann bekomme ich bei den Aufgaben auf folgende Rechnungen. Achtung. Excel rechnet bei mir noch exakt und nicht wie man selbst mit gerundeten Werten.

a) P(X ≤ 795,35) = Φ((795,35 - 785) / 15) = Φ(0,690000000000002) = 0,7549

b) P(X ≤ 788,8) = Φ((788,8 - 785) / 15) = Φ(0,25333333333333) = 0,6

c) P(767,38 ≤ X ≤ 802,62) = Φ((802,62 - 785) / 15) - Φ((767,38 - 785) / 15) = Φ(1,17466666666667) - Φ(-1,17466666666667) = 0,8799 - 0,1201 = 0,7599

d) P(753,19 ≤ X ≤ 816,81) = Φ((816,81 - 785) / 15) - Φ((753,19 - 785) / 15) = Φ(2,12066666666666) - Φ(-2,12066666666666) = 0,983 - 0,017 = 0,9661

e) P(767,38 ≤ X ≤ 802,62) = Φ((802,62 - 785) / 8,27405583737504) - Φ((767,38 - 785) / 8,27405583737504) = Φ(2,12954811356337) - Φ(-2,12954811356337) = 0,9834 - 0,0166 = 0,9668