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Vektoridentität mittels Epsilon-Tensor beweisen:
Um die Vektoridentität \((\nabla \times \mathbf{h})^2 = \mathbf{h} \cdot (\nabla \times (\nabla \times \mathbf{h})) + \nabla \cdot (\mathbf{h} \times (\nabla \times \mathbf{h}))\) zu beweisen, nutzen wir den Epsilon-Tensor und die Vektoranalysis.
Schritt 1: Verstehen der Vektoridentität
Die linke Seite der Identität ist das Skalarprodukt von \(\nabla \times \mathbf{h}\) mit sich selbst:
\(
(\nabla \times \mathbf{h}) \cdot (\nabla \times \mathbf{h})
\)
Schritt 2: Vektorprodukte und Epsilon-Tensor
Erinnern wir uns, dass das Kreuzprodukt in kartesischen Koordinaten mit dem Epsilon-Tensor notiert werden kann. Für zwei Vektoren \(\mathbf{a}\) und \(\mathbf{b}\) ist:
\(
(\mathbf{a} \times \mathbf{b})_i = \epsilon_{ijk} a_j b_k
\)
Zur Arbeit mit dem Divergenz und Rotations-Theorem benötigen wir die folgenden wichtigen Identitäten:
1.
Rot von Rot:
\(
\nabla \times (\nabla \times \mathbf{h}) = \nabla (\nabla \cdot \mathbf{h}) - \nabla^2 \mathbf{h}
\)
Angenommen, \(\mathbf{h}\) ist solenoidisch (d.h., divergierenzfrei, \(\nabla \cdot \mathbf{h} = 0\)), dann reduziert sich die Gleichung zu:
\(
\nabla \times (\nabla \times \mathbf{h}) = -\nabla^2 \mathbf{h}
\)
2.
Produktregel für divergierende Vektoren:
Wir verwenden auch eine vektorielle Produktregel für den Divergenz:
\(
\nabla \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = (\nabla \times \mathbf{A}) \cdot \mathbf{B} - \mathbf{A} \cdot (\nabla \times \mathbf{B})
\)
Schritt 3: Linke Seite der Identität berechnen
Wir schreiben die linke Seite der Gleichung unter Verwendung des Epsilon-Tensors um:
\(
(\nabla \times \mathbf{h})_i = \epsilon_{ijk} \partial_j h_k
\)
Skalarprodukt:
\(
(\nabla \times \mathbf{h}) \cdot (\nabla \times \mathbf{h}) = (\epsilon_{ijk} \partial_j h_k) (\epsilon_{ilm} \partial_l h_m)
\)
Verwenden der Identität des Epsilon-Tensors:
\(
\epsilon_{ijk} \epsilon_{ilm} = \delta_{jl} \delta_{km} - \delta_{jm} \delta_{kl}
\)
Somit:
\(
(\nabla \times \mathbf{h}) \cdot (\nabla \times \mathbf{h}) = (\partial_j h_k)(\partial_j h_k) - (\partial_j h_k)(\partial_k h_j)
\)
\(
= (\nabla \mathbf{h})^2 - \text{Spur der symmetrischen 2. Ableitung von } \mathbf{h}
\)
Schritt 4: Rechte Seite der Identität berechnen
Die rechte Seite zerlegt sich in zwei Teile.
1. Der erste Teil ist \(\mathbf{h} \cdot (\nabla \times (\nabla \times \mathbf{h}))\), was sich durch die vorherige Vereinfachung zu \(-\mathbf{h} \cdot \nabla^2 \mathbf{h}\) reduziert. Da \(\mathbf{h}\) solenoidisch ist:
\(
\mathbf{h} \cdot (\nabla \times (\nabla \times \mathbf{h})) = -\mathbf{h} \cdot \nabla^2 \mathbf{h}
\)
2. Der zweite Teil ist der Divergenz eines Kreuzprodukts:
\(
\nabla \cdot (\mathbf{h} \times (\nabla \times \mathbf{h})) = (\nabla \times \mathbf{h}) \cdot (\nabla \times \mathbf{h}) - \mathbf{h} \cdot (\nabla \times (\nabla \times \mathbf{h}))
\)
Kombiniert:
\(
\mathbf{h} \cdot (\nabla \times (\nabla \times \mathbf{h})) + \nabla \cdot (\mathbf{h} \times (\nabla \times \mathbf{h}))
= -\mathbf{h} \cdot \nabla^2 \mathbf{h} + (\nabla \times \mathbf{h}) \cdot (\nabla \times \mathbf{h})
= (\nabla \times \mathbf{h})^2
\)
Damit sind beide Seiten der Gleichung gleich und die Vektoridentität ist bewiesen:
\(
(\nabla \times \mathbf{h})^2 = \mathbf{h} \cdot (\nabla \times (\nabla \times \mathbf{h})) + \nabla \cdot (\mathbf{h} \times (\nabla \times \mathbf{h}))
\)
