Vektoridentität mittels Epsilon-Tensors (rot h)2

Question

Aufgabe:

Ich muss die Vektoridentität mittels Epsilon-Tensor beweisen:

$(rot~h)^{2}=h~rot~rot~h + div(h~ \times ~ rot~ h)$

Meine Idee ist erstmal die ganze Sache mit diesem Ansatz durchzuziehen.

$(a\times b)^{2}= (a\times b)\cdot (a\times b)$

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Vektoridentität mittels Epsilon-Tensor beweisen:

Um die Vektoridentität $(\nabla \times \mathbf{h})^2 = \mathbf{h} \cdot (\nabla \times (\nabla \times \mathbf{h})) + \nabla \cdot (\mathbf{h} \times (\nabla \times \mathbf{h}))$ zu beweisen, nutzen wir den Epsilon-Tensor und die Vektoranalysis.

Schritt 1: Verstehen der Vektoridentität

Die linke Seite der Identität ist das Skalarprodukt von $\nabla \times \mathbf{h}$ mit sich selbst:

$(\nabla \times \mathbf{h}) \cdot (\nabla \times \mathbf{h})$

Schritt 2: Vektorprodukte und Epsilon-Tensor

Erinnern wir uns, dass das Kreuzprodukt in kartesischen Koordinaten mit dem Epsilon-Tensor notiert werden kann. Für zwei Vektoren $\mathbf{a}$ und $\mathbf{b}$ ist:

$(\mathbf{a} \times \mathbf{b})_i = \epsilon_{ijk} a_j b_k$

Zur Arbeit mit dem Divergenz und Rotations-Theorem benötigen wir die folgenden wichtigen Identitäten:

1. Rot von Rot:

$\nabla \times (\nabla \times \mathbf{h}) = \nabla (\nabla \cdot \mathbf{h}) - \nabla^2 \mathbf{h}$

Angenommen, $\mathbf{h}$ ist solenoidisch (d.h., divergierenzfrei, $\nabla \cdot \mathbf{h} = 0$), dann reduziert sich die Gleichung zu:

$\nabla \times (\nabla \times \mathbf{h}) = -\nabla^2 \mathbf{h}$

2. Produktregel für divergierende Vektoren:

Wir verwenden auch eine vektorielle Produktregel für den Divergenz:

$\nabla \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = (\nabla \times \mathbf{A}) \cdot \mathbf{B} - \mathbf{A} \cdot (\nabla \times \mathbf{B})$

Schritt 3: Linke Seite der Identität berechnen

Wir schreiben die linke Seite der Gleichung unter Verwendung des Epsilon-Tensors um:

$(\nabla \times \mathbf{h})_i = \epsilon_{ijk} \partial_j h_k$

Skalarprodukt:

$(\nabla \times \mathbf{h}) \cdot (\nabla \times \mathbf{h}) = (\epsilon_{ijk} \partial_j h_k) (\epsilon_{ilm} \partial_l h_m)$

Verwenden der Identität des Epsilon-Tensors:

$\epsilon_{ijk} \epsilon_{ilm} = \delta_{jl} \delta_{km} - \delta_{jm} \delta_{kl}$

Somit:

$(\nabla \times \mathbf{h}) \cdot (\nabla \times \mathbf{h}) = (\partial_j h_k)(\partial_j h_k) - (\partial_j h_k)(\partial_k h_j)$

$= (\nabla \mathbf{h})^2 - \text{Spur der symmetrischen 2. Ableitung von } \mathbf{h}$

Schritt 4: Rechte Seite der Identität berechnen

Die rechte Seite zerlegt sich in zwei Teile.

1. Der erste Teil ist $\mathbf{h} \cdot (\nabla \times (\nabla \times \mathbf{h}))$, was sich durch die vorherige Vereinfachung zu $-\mathbf{h} \cdot \nabla^2 \mathbf{h}$ reduziert. Da $\mathbf{h}$ solenoidisch ist:

$\mathbf{h} \cdot (\nabla \times (\nabla \times \mathbf{h})) = -\mathbf{h} \cdot \nabla^2 \mathbf{h}$

2. Der zweite Teil ist der Divergenz eines Kreuzprodukts:

$\nabla \cdot (\mathbf{h} \times (\nabla \times \mathbf{h})) = (\nabla \times \mathbf{h}) \cdot (\nabla \times \mathbf{h}) - \mathbf{h} \cdot (\nabla \times (\nabla \times \mathbf{h}))$

Kombiniert:

$\mathbf{h} \cdot (\nabla \times (\nabla \times \mathbf{h})) + \nabla \cdot (\mathbf{h} \times (\nabla \times \mathbf{h})) = -\mathbf{h} \cdot \nabla^2 \mathbf{h} + (\nabla \times \mathbf{h}) \cdot (\nabla \times \mathbf{h}) = (\nabla \times \mathbf{h})^2$

Damit sind beide Seiten der Gleichung gleich und die Vektoridentität ist bewiesen:

$(\nabla \times \mathbf{h})^2 = \mathbf{h} \cdot (\nabla \times (\nabla \times \mathbf{h})) + \nabla \cdot (\mathbf{h} \times (\nabla \times \mathbf{h}))$