Grenzwertberechnung nach de L'Hospital

Question

Ich benötige Hilfe bei der Grenzwertberechnung nach de L'Hospital:

$$\lim_{x\to 0^+} (1+\sin x)^{\frac{1}{x}} =$$

Answer 1

Du weißt ja sicher, dass \( e^{ln(x) } \)=x ist. Das machen wir uns zu Nutzen, denn mit dem Logarithmus wird aus ^(1/x) -> *1/x, also 

\( \lim\limits_{x\to\ 0^+} \) \( (1+sin(x)^{1/x} \)) 

=\( \lim\limits_{x\to\ 0^+} \) \( e^{ln((1+sin(x)^{1/x}) } \)

Jetzt kannst du die besagte Logarithmus-Regel anwenden

=\( \lim\limits_{x\to\ 0^+} \) \( e^{\frac{1}{x}ln(1+sin(x)) } \)

Da die e-Funktion stetig ist, darfst du den Limes in die Funktion reinziehen

=\( e^{\lim\limits_{x\to\ 0^+}\frac{ln(1+sin(x))}{x}} \)

Überprüfe jetzt mal, ob du L' Hospital anwenden darfst :)

Comments

$$e^{\lim\limits_{x\to\ 0^+}\frac{0}{0}}$$

wie komme ich weiter ?

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\( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}[\ln (1+\sin (x))]=1 \)

und

\( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}[x]=1 \)

$$e^{\lim\limits_{x\to\ 0^+}\frac{1}{1}}= 1$$

Als Grenzwert habe ich 1 bekommen. Ist das so richtig ?

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Also auf jeden Fall richtig gedacht, aber ein paar kleine Fehler. Man schreibt dann nicht 0/0 in den Limes, sondern eher einen Satz in deine Rechnung, z. B: 0/0-Situation, also darf L'Hospital angewendet werden.

Dann hast du geschriebe, dass d/dx(ln(1+sin(x))) = 1 ist, das ist falsch notiert. Die Anleitung hat an der Stelle x=0 den Wert eins, es ist aber nicht die ganze Ableitung gleich 1.

Zudem steht da doch, nachdem du den Grenzwert genommen hast (bei dir steht schon 1/1 vorm Grenzwert nehmen), e^(1/1), was aber nicht 1 ist, sondern e. Ich schreibe dir mal im nächsten Kommentar, wie ich es verständlich aufschreiben würde :)

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\( e^{\lim\limits_{x\to\ 0^+}\frac{ln(1+sin(x)}{x}} \) liegt vor, nun ergäbe sich bei der Grenzwertbetrachtung eine 0/0-Situation, weshalb mit L´Hospital folgt

=\( e^{\lim\limits_{x\to\ 0^+}\frac{(ln(1+sin(x))^´}{x´}} \)

=\( e^{\lim\limits_{x\to\ 0^+}\frac{\frac{cos(x)}{sin(x)+1}}{1}} \)

=\( e^{\lim\limits_{x\to\ 0^+}\frac{cos(x)}{sin(x)+1}} \)

=\( e^{\frac{cos(0)}{sin(0)+1}} \)

=\( e^{\frac{1}{0+1}} \)

=\( e^{1} \)

=e