Moin liebe Community von Mathelounge!
Ich versuche seit Stunden das Integral von x * ln(x^2+1) zu berechnen und komme nicht auf die richtig Lösung, kann mir hier jemand meine Fehler anmerken?
Ich habe erstmal eine partielle Integration durchgeführt und das daraus entstandene Integral mit der Substitutionsmethode zu lösen. Entschuldigt mein unsauberes Arbeiten. ( NR steht für Nebenrechnung)
Text erkannt:
\( x^{\prime} \cdot \ln \left(x^{2}+1\right)=\left[\frac{1}{2} x^{2} \cdot \ln \left(x^{2}+1\right)\right]-\int \frac{1}{2} x^{2} \cdot \frac{1}{10 x^{2}+1} \cdot 2 x \)
\( y_{2}=[-1,-]-\frac{1}{2} \int \frac{x^{2} \cdot 2 x}{x^{2}+1} \)
$$ =\left[\frac{1}{2} x^{2} \cdot \ln \left(x^{2}+1\right)\right]-\left[\frac{1}{2}\left(x^{2}+1-\ln | x^{2}+1\right]\right] $$
\( \frac{x^{2} \ln \left|x^{2}+1\right|-x^{2}-1+\ln \left|x^{2}+1\right|}{2}+C \)
\( \mathrm{NR} \)
$$ 11 $$
\( \left.\left.\int \frac{x^{2} \cdot 2 x}{x^{2}+1} d x 1\right)=x^{2}+1 \quad 2\right) d x=\frac{d z}{2 x} \)
\( =\int \frac{x^{2} \cdot 2 x}{2} \frac{d z}{2 x}=\int \frac{x^{2}}{2} d z=\int \frac{z-1}{z} d z \)
\( =\int \frac{2}{2} d_{2}-\int \frac{1}{2} d z=\int 1-\int \frac{1}{2} d z=-\ln |z| \)
\( =x^{2}+1-\ln \left|x^{2}+1\right| \)
