Summe umformen mit Potenz und Fakultät

Question

Aufgabe:

\( \frac{1}{2} \) \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{1+(-1)^k}{k!}} \) = \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{(2k)!}} \)

Problem/Ansatz:

Servus!

Ich verstehe leider nicht, wie man bei dieser Umformung vorgeht.

Kann mir bitte jemand erklären, wie man auf das Ergebnis kommt.

Answer 1

Links ist der Zähler \(0\) für alle ungerade \(k\). Für gerade \(k\) ist der Zähler \(2\).

Ersetzt man links gerade \(k\) durch \(2n\), dann bekommt man

\(\begin{aligned}&\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1+(-1)^k}{k!}\\ =& \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2}{(2n)!} \\=& \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{(2n)!}\\=&\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n)!} \\=& \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k)!}\end{aligned}\)