Basis der linearen Abbildung bestimmen in Abhängigkeit vom Paramater a

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die lineare Abbildung \( \mathcal{L}_{A}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, v \mapsto A v \) mit

$$ A=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {1} & {2} \\ {1} & {0} & {3} \\ {a} & {a} & {1-a} \end{array}\right), a \in \mathbb{R} $$

Bestimmen Sie in Abhängigkeit vom Parameter \( a \) eine Basis vom Bild( \( \mathcal{L}_{A} \) ).

Entscheiden Sie mit Begründung und in Abhängigkeit von \( a \), ob die Abbildung \( \mathcal{L}_{A} \) injektiv ist. Geben Sie eine Basis vom Kern( \( \mathcal{L}_{A} \) ) an, falls \( \operatorname{dim}\left(\mathrm{Kern}\left(\mathcal{L}_{A}\right)\right)>0 \)

Comments

Vom Duplikat:

Titel: lineare Abbildung. Basis bestimmen.

Stichworte: basis,lineare-abbildung,kern

Text erkannt:

(1) Wir betrachten die lineare Abbildung \( \mathcal{L}_{A}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, v \mapsto A v \) mit
$$ A=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {1} & {2} \\ {1} & {0} & {3} \\ {a} & {a} & {1-a} \end{array}\right), a \in \mathbb{R} $$
Bestimmen Sie in Abhängigkeit vom Parameter a eine Basis vom Bild( \( \mathcal{L}_{A} \) ). Entscheiden Sie mit Begründung und in Abhängigkeit von a ob die Abbildung \( \mathcal{L}_{A} \) injektiv ist. Geben Sie eine Basis vom Kern( \( \mathcal{L}_{A} \) ) an, falls \( \operatorname{dim}\left(\mathrm{Kern}\left(\mathcal{L}_{A}\right)\right)>0 \)

Brauche Hilfe bei dieser Aufgabe. Kann mir jemand helfen sie zu lösen?

Answer 1

Es ist det(A) = 3a-1 .

Also ist für a ≠1/3 jedenfalls rang=3

==>  Die drei Spalten von A bilden eine

Basis von Bild( LA) .

Und es ist dim ( Kern (LA)) = 0 , also LA Injektiv.

a=1/3:

Bild(LA) ist dann 2-dimensional, also bilden die ersten beiden

Spalten von A ( die sind lin. unabh.) eine Basis von Bild(LA).

In dem Fall ist dim ( Kern (LA)) = 1 > 0 und Gauss liefert

1   1    2
0   1    -1
0   0     0

also sind die Elemente im Kern welche mit v3=t

v2 - t = 0  ==>   v2 = t

v1 + t + 2t = 0 ==>  v1 = 3t

also v=(3t;t;t)^T = t* (3;1;1)^T

==>    (3;1;1)^T  ist eine Basis für den Kern.

Answer 2

Hallo

1. wenn dim(Kern)=0 ist dim(Bild)=3 und du kannst die Standardbasis nehmen. also bestimme erst die a für die dim(Kern)=0

dann dim(Kern)=1 für welche a? einfach A*x=0 lösen (Gauss), dann Bild für diese a bestimmen.. z.B indem du die Bilder der Standardeinheitsvektoren bestimmst.

Gruß lul