Vektorraum/lineare Abbildung A^-1

Question

Es seien V und W Vektorräume und A:V→W eine lineare Abbildung.

(1) Es gelte: Lin(A^-1(S')) ⊂ A^-1(Lin(S')) sei für einen Vektorsystem S'⊂W bewiesen.
Weisen Sie anhand eines Gegenbeispiels nach, dass die Mengengleichheit im Allgemeinen nicht gilt.

(2) Es sei W' ein Untervektorraum von W. Zeigen Sie, dass A^-1 (W' ) ein Untervektorraum von V ist.

Answer 1

Zu (1):
Sei \(V=W=\mathbb{R}^2\), ferner
\(A:V\rightarrow W,\; A((x,y)^T)=(x,x)^T\; \) und \(\; S'=\{(1,0)^T,(1,1)^T\}\).
Dann ist \(Lin(S')=W\), also \(A^{-1}(Lin(S'))=V\), aber
\(A^{-1}(S')=\{(1,0)^T\}\), also \(Lin(A^{-1}(S'))=Lin((1,0)^T)\neq V\).

Zu (2):
ich zeige die Behauptung auf unübliche Weise:
Es sei \(B:W\rightarrow W/W'\) die kanonische lineare Abbildung
\(B(w)=w+W'\), dann ist
\(A^{-1}(W')=Kern(B\circ A)\)
und Kerne linearer Abbildungen sind bekanntlich Unterräume.