f(x)=(x-2)*e^x wie kommt man hier auf die Monotonie?

Question

 Aufgabe: Welche Vermutungen können im Hinblick auf Monotonie, Verhalten, für x-> ∞ sowie Extremstellen der Funktion bzw. dessen Graphen aufgestellt werden?

Ich hätte jetzt einfach (x-2)=0 gesetzt dann wäre ja x=2 aber auf den Lösungen steht monoton wachsend auf 1: ∞ und monoton fallend -∞ und 1 doch wie kommt man auf diese 1?

Answer 1

Ich hätte jetzt einfach (x-2)=0 gesetzt dann wäre ja x=2

Wegen Satz vom Nullprodukt hat die Funktion dann eine Nullstelle bei 2. Das hilft bei der Beurteilung der Monotonie nur wenig.

wie kommt man auf diese 1?

Indem man die Ableitung untersucht. Laut Monotoniesatz gilt

• Ist f'(x) > 0 auf einem Intervall, dann ist f in diesem Intervall streng monoton steigend.
  
• Ist f'(x) < 0 auf einem Intervall, dann ist f in diesem Intervall streng monoton fallend.
  

Comments

also ich habe jetzt rausgefunden, dass die extremstelle bei x=1 liegt. meine frage ist nur , weshalb ist bei monoton wachsend 1 auf ∞ und monoton fallend auf -∞ und 1?

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weshalb ist bei monoton wachsend 1 auf ∞ und monoton fallend auf -∞ und 1

Das Steigungsverhalten kann sich nur an Hochpunkten und Tiefpunkten ändern.

Der einzige Hoch- oder Tiefpunkt liegt bei x =1.

Links davon ist die Funktion also entweder überall monoton wachsend oder überall monoton fallend. Welche dieser beiden Möglichkeiten zutrifft, kannst du herausfinden indem du einen Wert kleiner als 1 in die Ableitung einsetzt:

        f`(0) = (0-1)·e⁰ = -1 < 0.

Weil die Ableitung negativ ist, fällt die Funktion an der Stelle 0. Also fällt sie auch im ganzen Intervall [-∞, 1].

Answer 2

Hallo

 wie kommst du auf die Idee, dass eine Funktion ihr Steigungsverhalten an einer Nullstelle ändert? du musst schon sehen wo f'>0 und wo f'<0

 diese funktion hat ein einziges Minimum, also f'=0 bei x=1

Gruß lul

Answer 3

Du hast doch einen graphischen Taschenrechner, Guck dir doch den Kurvenverlauf an, dem du wichtige Informationen entnehmen kannst. In diesem Fall fällt die Kurve, bis bei x=1 das Minimum erreicht wird, um danach (also für x>1) anzusteigen. Entscheidend ist also das Minimum, das du mit f'(x)=0 bestimmst-

https://www.desmos.com/calculator/fmpej44lf0