Beweisen Sie die Mengengleichheit f(X∪Y)=f(X)∪f(Y)

Question

Gegeben sei die Abbildung \( f: A \longrightarrow B \) und Teilmengen \( X, Y \subseteq A . \) Beweisen Sie die Mengengleichheit

$$ f(X \cup Y)=f(X) \cup f(Y) $$
Definition 0.2 Sei \( f: A \longrightarrow B \) eine Abbildung und \( M \subseteq B . \) Dann heißt die Menge \( f^{-1}(M):=\{a \in A | f(a) \in M\} \) das Urbild von \( M \) unter \( f \)

Answer 1

Hallo hp,

\( f: A \longrightarrow B \) und Teilmengen \( X, Y \subseteq A . \)

sei b ∈ B

b ∈ f(X∪Y)     ⇔   es gibt a ∈ X∪Y  mit f(x)  = b

                      ⇔   [ es gibt a ∈ X  mit f(x) = b ] oder  [ es gibt a ∈ Y  mit f(x)  = b ]

                      ⇔   b ∈ f(X)   oder  b ∈ f(Y)

                      ⇔   b ∈  f(X) ∪ f(Y)

     →        f(X∪Y) = f(X) ∪ f(Y)  

Gruß Wolfgang

Comments

Danke. Dir ;)

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immer wieder gern :-)